一句话题解整理

Solution

Luogu3803

FFT版子题

Luogu2137

时间分块。

用dfs序+划分树预处理，然后考虑修改对询问的影响。

Luogu2051

动态规划。

考虑列的顺序对答案没有影响，设$f[i][j][k]$表示DP到了第$i$行,$j$列0个棋子,$k$列$1$个棋子，分类讨论转移即可。

Luogu1879

轮廓线动态规划。

记录轮廓线，每次转移枚举选或不选。

Luogu1131

贪心。

考虑最优的方案一定是在lca处让两个叶子节点距离相等。树上贪心即可。

(这种题是怎么评上提高+/省选-的啊，QAQ)

Luogu1169

单调栈。

考虑棋盘只有两种情况

1. 黑格行列奇偶不同，白格不同
2. 白格行列奇偶相同，黑格不同

将第一种格子赋为1，第二种为0。查询最大的全1矩阵或全0矩阵。用单调栈优化到$O(nm)$。

Luogu1273

树形DP.

设$f[i][j]$表示以$i$为根的子树中满足$j$个客户需求的最小收益，直接转移即可。

Luogu2365

斜率优化DP.

设$f[i]$表示处理前$i$个货物的最少时间。

$$f[i]=min \{f[j]+sumT[i] \times (sumC[i]-sumC[j])+S \times (sumC[n]-sumC[j]) \}$$

$$f[j]=(S+sumT[i]) \times sumC[j]+f[i]-sumT[i] \times sumC[i] - S \times sumC[n]$$

斜率优化即可。

Luogu4072

斜率优化DP.

展开方差公式发现有些为常量,只考虑变量。

$$f_{i,j}=\{ f_{i-1,j}+(s_i-s_j)^2\}$$

$$f_{i-1,j}+s_j^2=2s_js_j+f_{i,j}-s_i^2$$

Luogu4056

动态规划.

考虑三个点$A(x,y),B(x1,y1),C(x1,y2)(x>x1,y>y1>y2)$

$A->B->C:(x-x1)^2+(y-y1)^2+(y1-y2)^2$

$A->C:(x1-x1)^2+(y-y2)^2$

因为$(y-y1)^2+(y1-y2)^2<((y-y1)+(y1-y2))^2$
所以第一种转移更优。

所以每次转移时转移每一列最下面的点即可。

Luogu4323

树哈希.

用换根DP求出A树中以每个点为根的哈希值与B树中去掉某个叶子节点的哈希值，MAP判重即可。

Luogu3648

斜率优化DP.

考虑顺序不影响答案，推完DP方程后斜率优化即可。

Luogu4027

斜率优化DP.

考虑每次要么卖出所有股票要么花光所有钱，列出方程后CDQ分治+斜率优化即可。

Luogu3628

斜率优化DP.

$$f_i=max\{ f_j + a(s_i-s_j)^2 + b (s_i - s_j) + c \}$$

$$f_i + 2as_is_j-as_i^2 - bs_i -c=f_j+as_j^2-bs_j$$

Luogu2839

二分+主席树.

对于每个询问二分答案$k$，比$k$小的设为$-1$，大于等于$k$则设为$1$，判断能否使区间和$\geq 0$.

考虑按照大小顺序构建二分时的$(1,-1)$序列，那么每次只会修改一个位置，主席树维护即可。

Luogu2839

DP+容斥.

$g[k][i][j]$第$k$种颜色棋子恰好填满$i$行$j$列的方案数

$$g[k][i][j] = C_{ij}^{k}-\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^jg[k][i][j]\times C_i^x \times C_j^y$$

$f[k][i][j]$前$k$种颜色棋子恰好填满$i$行$j$列的方案数

$$f[k][i][j]=\sum_{x=0}^{i-1}\sum_{y=0}^{j-1}f[k-1][i-x][j-y] \times C_i^x \times C_j^y$$

Luogu3571

斜率优化DP.

设$sum[i]$表示深度大于$i$的节点数.

$$ans[k]=max(i+\left \lceil \frac{sum[i]}{k} \right \rceil)$$

发现这是一条直线，斜率优化即可。

UOJ12

数论。

稍微分析可以发现

1. 当$a=g,b=l$时，答案取最大值。
2. 当$a=b=\sqrt n$时，答案取最小值。

注意精度问题。

UOJ13

Trie树。

按照题意模拟，为每个节点建立go指针，当当前为字符串结尾或下一字符为/时尝试跳转。

UOJ14

按秩合并并查集。

考虑撤销操作：

1. 上一次操作为加边，则直接删除即可
2. 上一次操作为删边，那么相当于没有删边，上一次操作答案判断删除$k$条边后是否仍然存在生成树。

Luogu2515

Tarjan+DP。

考虑依赖关系类似于一棵树，Tarjan缩点后DP即可。