[SRM625 Div1 Hard] Seatfriends

题目链接：Portal Vjudge

Solution

一开始拿到这一题Sb了，把空放到dp中一起考虑了，这样计数就变得很麻烦。

其实我们可以把空位拿出来，假设它是存在的，最后再放回去。

那么就可以钦定某个人放到第一个，因为这是环排列，所以最后乘以n就可以了。

设\(Dp[i][j]\)表示来了\(i\)个人，分成\(j\)个联通块的方案数。

那么新来的人有三种选择，加入一个联通块，独立成为一个联通块，合并两个联通块：
\[ Dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j] * j\\ Dp[i + 1][j - 1] += dp[i][j] * j\\ Dp[i + 1][j] += dp[i][j] * 2j \]
最后利用隔板法：\[ ans = n\sum_{i = 1}^{G} dp[k][i] * {n - k - 1 \choose i - 1}\]

一般环排列有空的计数，可以把空位全部抽出来计数，并且在计数过程中假定空存在，最后再用隔板法插入。

如果所求排列是环排列，那就钦定一种选法然后乘上环的大小即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, a, b) for(int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++i)
#define drep(i, a, b) for(int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; --i)
#define clar(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
typedef long long LL;
typedef long double LD;

const int Maxn = 4009, Mod = 1e9 + 7;
class Seatfriends {
    private:
        int dp[Maxn][Maxn];
        int invFac[Maxn], fac[Maxn];
    public:
        int fpm(int base, int tims) {
            int r = 1;
            while (tims) {
                if (tims & 1) r = r * 1ll * base % Mod;
                base = base * 1ll * base % Mod;
                tims >>= 1;
            }
            return r;
        }
        int C(int n, int m) {
            if (m > n) return 0;
            return fac[n] *1ll * invFac[m] % Mod * invFac[n - m] % Mod;
        }

        void init(int n) {
            fac[0] = 1;
            rep (i, 1, n) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % Mod;
            invFac[n] = fpm(fac[n], Mod - 2);
            drep (i, n - 1, 0) invFac[i] = invFac[i + 1] * (i + 1ll) % Mod;
        }

        int countseatnumb(int n, int k, int g) {
            init(n + k); clar(dp, 0);
            dp[1][1] = 1;
            rep (i, 1, k)
                rep (j, 1, g)
                    if (dp[i][j]) {
                        (dp[i + 1][j + 1] += 1ll * dp[i][j] * j % Mod) %= Mod;
                        (dp[i + 1][j] += 2ll * j % Mod * dp[i][j] % Mod) %= Mod;
                        if (j > 1) (dp[i + 1][j - 1] += 1ll * dp[i][j] * j % Mod) %= Mod;
                    }
            LL ans = 0;
            if (n == k) return (g >= 1) * dp[k - 1][1] * 1ll * n % Mod;
            rep (i, 1, g) ans = (ans + 1ll * dp[k][i] * C(n - k - 1, i - 1) % Mod) % Mod;
            return ans * 1ll * n % Mod;
        }
};