数据结构篇：校园最短路径导航（二：弗洛伊德算法理解与应用）

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求最短路径最常用的有迪杰斯特拉（Dijkstra）和弗洛伊德（Floyd）算法两种。本着简洁为王道的信条，我选择了Floyd算法。

Floyd算法

首先来看一个简单图，红色标记代表在数组的下标，橙色标记代表距离（边权值）

我们用D[6][6]这个矩阵存储两点之间最短路径，用P[6][6]这个矩阵存储路径

两个矩阵初始化如下，若两点不直接联通，则初始化为无穷大

D[6][6]

	A	B	C	D	E	F
A	0	7	∞	∞	10	5
B	7	0	8	∞	∞	∞
C	∞	8	0	6	∞	5
D	∞	∞	6	0	7	∞
E	10	∞	∞	7	0	4
F	5	∞	5	∞	4	0

P[6][6]

	A	B	C	D	E	F
A	0	1	2	3	4	5
B	0	1	2	3	4	5
C	0	1	2	3	4	5
D	0	1	2	3	4	5
E	0	1	2	3	4	5
F	0	1	2	3	4	5

核心代码

    for (int k = 0; k < G->numVertexes; ++k)
    {
        for (int v = 0; v < G->numVertexes; ++v)
        {
            for (int w = 0; w < G->numVertexes; ++w)
            {
                if (D[v][w] > D[v][k] + D[k][w])
                {
                    D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];
                    P[v][w] = P[v][k];
                }
            }
        }
    }

其中k为中转顶点下标，级无论走哪条路径，都要经过k下标的顶点，v代表起始顶点，w代表终点。 

当取k=0时代表所有路径都经过下标为0的地点（A）

• v取2，w取3，即从C到D，有C-A-D，可惜这个路径的和不小于C-D的路径大小，所以D数组不会有变化。
• v取1，w取4，即从B到E，有B-A-E，发现它的值为17，小于B-E的无穷大，所以D[1][4]由无穷大改为17，因为D数组变化了，所以P数组也要跟着变化，把P[1][4]改为当前P[1][0]，代表从B到E下一节点为A
• 同理在k取0时，将这个时间复杂度为O(6^2)的循环走完，那么D和P矩阵如下

D[6][6]

	A	B	C	D	E	F
A	0	7	∞	∞	10	5
B	7	0	8	∞	17	12
C	∞	8	0	6	∞	5
D	∞	∞	6	0	7	∞
E	10	17	∞	7	0	4
F	5	12	5	∞	4	0

P[6][6]

	A	B	C	D	E	F
A	0	1	2	3	4	5
B	0	1	2	3	0	0
C	0	1	2	3	4	5
D	0	1	2	3	4	5
E	0	0	2	3	4	5
F	0	0	2	3	4	5

然后取k=1,2,3,4,5遍历完成后，D和P就是我们的目标数组了。

输出结果

这个就比较简单了，比如我输入1,4，代表我想知道从B走到E的最短路径，先输出最短路径为D[1][4]。然后就是具体的路径，我们找到P[1][4]，发现它等于0，意味着从B走到E要先走B-A，然后我们看P[0][4]，发现它等于4，也就是E，到达终点。

void AdjacencyList::ShowShortestResult(int originPos,int endPos) {
    int temp;
    cout << "地点" << _mapName[originPos] << "到地点" << _mapName[endPos] << "最短距离为" << ShortestPathvalue[originPos][endPos] << endl;
    temp = ShortestPathmatrix[originPos][endPos];
    cout<<"具体路径为："<<_mapName[originPos]<<"——>";
    while (temp!=endPos){
        cout<<_mapName[temp]<<"——>";
        temp = ShortestPathmatrix[temp][endPos];
    }
    cout<<_mapName[endPos]<<endl;
}