https://blog.csdn.net/jeffleo/article/details/53349825
弗洛伊德基本思想

弗洛伊德算法作为求最短路径的经典算法，其算法实现相比迪杰斯特拉等算法是非常优雅的，可读性和理解都非常好。

基本思想：
弗洛伊德算法定义了两个二维矩阵：

    矩阵D记录顶点间的最小路径
    例如D[0][3]= 10，说明顶点0 到 3 的最短路径为10；
    矩阵P记录顶点间最小路径中的中转点
    例如P[0][3]= 1 说明，0 到 3的最短路径轨迹为：0 -> 1 -> 3。

它通过3重循环，k为中转点，v为起点，w为终点，循环比较D[v][w] 和 D[v][k] + D[k][w] 最小值，如果D[v][k] + D[k][w] 为更小值，则把D[v][k] + D[k][w] 覆盖保存在D[v][w]中。

概念是比较难理解的，我们来看图：

这里写图片描述

顶点名称和下标的对应
A B C D E F G
0 1 2 3 4 5 6

第2步：
以A为中间点，原D矩阵中，D[B][G]的值为INF，即不存在B->G的最小路径，但是通过A为中间点，D[B][A] + D[A][G] = 12 + 14 = 26 小于 D[B][G] = INF，所以D[B][A] + D[A][G] 为 B -> G的最小值，因此覆盖D[B][G] 为 26。

第3步：
以B为中间点，第2步后的D矩阵中，D[A][C]的值为INF，但是通过B，D[A][B] + D[B][C] = 12 + 10 = 22 小于 D[A][C] = INF，所以D[A][B] + D[B][C] 为 A->C的最小路径，覆盖D[A][C]的值为22，以此类推。

第4步….
代码实现

我们就对上面的图进行弗洛伊德算法求最短路径，并且我们求A到D的最小路径，即v = 0， w = 3；
结构定义

typedef struct struct_graph{
char vexs[MAXN];
int vexnum;//顶点数
int edgnum;//边数
int matirx[MAXN][MAXN];//邻接矩阵
} Graph;

弗洛伊德算法

//这里是弗洛伊德算法的核心部分
//k为中间点
for(k = 0; k < G.vexnum; k++){
//v为起点
for(v = 0 ; v < G.vexnum; v++){
//w为终点
for(w =0; w < G.vexnum; w++){
if(D[v][w] > (D[v][k] + D[k][w])){
D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];//更新最小路径
P[v][w] = P[v][k];//更新最小路径中间顶点
}
}
}
}

求A 到 D的最短路径

v = 0;
w = 3;
//求 0 到 3的最小路径
printf("\n%d -> %d 的最小路径为：%d\n", v, w, D[v][w]);
k = P[v][w];
printf("path: %d", v);//打印起点
while(k != w){
    printf("-> %d", k);//打印中间点
    k = P[k][w]; 
}
printf("-> %d\n", w);

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完整代码

include

define MAXN 10

define INF = 1000

typedef struct struct_graph{
char vexs[MAXN];
int vexnum;//顶点数
int edgnum;//边数
int matirx[MAXN][MAXN];//邻接矩阵
} Graph;

int pathmatirx[MAXN][MAXN];//记录对应点的最小路径的前驱点，例如p(1,3) = 2 说明顶点1到顶点3的最小路径要经过2
int shortPath[MAXN][MAXN];//记录顶点间的最小路径值

void short_path_floyd(Graph G, int P[MAXN][MAXN], int D[MAXN][MAXN]){
int v, w, k;
//初始化floyd算法的两个矩阵
for(v = 0; v < G.vexnum; v++){
for(w = 0; w < G.vexnum; w++){
D[v][w] = G.matirx[v][w];
P[v][w] = w;
}
}

//这里是弗洛伊德算法的核心部分 
//k为中间点 
for(k = 0; k < G.vexnum; k++){
    //v为起点 
    for(v = 0 ; v < G.vexnum; v++){
        //w为终点 
        for(w =0; w < G.vexnum; w++){
            if(D[v][w] > (D[v][k] + D[k][w])){
                D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];//更新最小路径 
                P[v][w] = P[v][k];//更新最小路径中间顶点 
            }
        }
    }
}

printf("\n初始化的D矩阵\n");
for(v = 0; v < G.vexnum; v++){
    for(w = 0; w < G.vexnum; w++){
        printf("%d ", D[v][w]);
    }
    printf("\n");
}

printf("\n初始化的P矩阵\n");
for(v = 0; v < G.vexnum; v++){
    for(w = 0; w < G.vexnum; w++){
        printf("%d", P[v][w]);
    }
    printf("\n");
}

v = 0;
w = 3;
//求 0 到 3的最小路径
printf("\n%d -> %d 的最小路径为：%d\n", v, w, D[v][w]);
k = P[v][w];
printf("path: %d", v);//打印起点
while(k != w){
    printf("-> %d", k);//打印中间点
    k = P[k][w]; 
}
printf("-> %d\n", w);

}

int main(){
int v, w;
Graph G;
printf(“请输入顶点数:\n”);
scanf(“%d”, &G.vexnum);
printf(“请输入初始矩阵值：\n”);
for(v = 0; v < G.vexnum; v++){
for(w = 0; w < G.vexnum; w++){
scanf(“%d”, &G.matirx[v][w]);
}
}
printf(“\n输入的矩阵值：\n”);
for(v = 0; v < G.vexnum; v++){
for(w = 0; w < G.vexnum; w++){
printf(“%d “, G.matirx[v][w]);
}
printf(“\n”);
}
short_path_floyd(G, pathmatirx, shortPath);
}

操作结果
初始化操作

这里写图片描述
弗洛伊德算法后的D矩阵和P矩阵

这里写图片描述
求得的最短路径

这里写图片描述

弗洛伊德（Floyd）算法求图的最短路径

include

include

define MAXN 10

define INF = 1000

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