一、卡尔曼滤波的作用
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。在很多工程应用(如雷达、计算机视觉)中都可以找到它的身影。同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要课题。例如,对于雷达来说，人们感兴趣的是其能够跟踪目标。但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息，设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波)，也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑)。
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
二、卡尔曼滤波的原理
卡尔曼滤波的含义是现时刻的最佳估计为在前一时刻的最佳估计的基础上根据现时刻的观测值作线性修正。卡尔曼滤波在数学上是一种线性最小方差统计估算方法，它是通过处理一系列带有误差的实际测量数据而得到物理参数的最佳估算。其实质要解决的问题是要寻找在最小均方误差下的估计值。它的特点是可以用递推的方法计算，其所需数据存储量较小，便于进行实时处理。
具体来说，卡尔曼滤波就是要用预测方程和测量方程对系统状态进行估计。
三、卡尔曼滤波的例子
为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，首先应用形象的描述方法来讲解，然后我们结合其核心的5条公式进行进一步的说明和探索。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子做个直观的解释。
例子一、温度
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！
下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。
例子二、价格
假定我们研究的对象是某个物品在市场上的平均价格，根据我们的经验，该物品的平均价格不会发生变化，即是恒定不变的，某天的平均价格和前一天的一样。但是我们对于我们的经验也不是百分之百的肯定，就可能出现上下几元的偏差，可以把这个偏差当做是我们做信号处理中所遇到的噪声，若这些偏差和前后时间没有关系而且服从高斯分配的，就把这个偏差看成是高斯白噪声。同时，我们会有专门的人员来反馈市场上该物品的价格，当然，这个价格中也存在高斯白噪声的偏差。
那么现在，对于某一天该物品的平均价格，我们就有两个值，一个是根据经验的预测值，如同系统的预测值，一个是人员反馈回来的值，如同测量值。若要估计第d天的平均价格，首先要根据d-1天的平均价格来预测第d天的平均价格。由于我们估计价格是不变的，即这两天的平均价格相同，设为100元，同时该值的高斯噪声的偏差是5元。我们从人员反馈回来的价格是107元，偏差是3元。那么，实际平均价格是多少呢？我们是该相信自己的推断还是相信人员的反馈？或者是相信哪个多一点呢？
我们可以用他们的协方差来判断。因为，所以
，我们可以估算出第d天的实际平均价格是：100+0.86*(107-100)=106.02元。可以看出，因为人员反馈的协方差比较小，即比较相信人员反馈，所以估算出的最优平均价格偏向人员反馈的价格。此外，还要计算这个最优平均价格的偏差，算法为：
。这个偏差就是继续估算第d+1天平均价格的偏差。通过这样的方法，卡尔曼滤波器就不断的进行递归，从而估算出最优的值。
四、卡尔曼滤波器算法（The Kalman Filter Algorithm）
在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述，我们结合下面PPT截图进行说明：
上两式子中，x(k)是k时刻的系统状态，u(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。y(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。q(k)和r(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。先给出KF算法的流程和五个核心更新方程如下：
KF算法
五个更新方程为：
编写公式不方便，所以写成了PDF然后做了截图粘在了下面，下面就上面的例子和五个核心的公式对Kalman算法进行下说明：
就这样，算法就可以自回归的运算下去。
看到这聪明的同学可能已经看出来了，问道卡尔曼增益为什么会是第三步中那样求，现在只大致说一下原理，具体推到比较复杂，有兴趣的同学可以参考这文献去推一推。
还记得前面我们说的误差协方差矩阵$P_k$么，即求第k次最优温度的误差协方差矩阵，对应于上例中的3和2.35....这些值。看下面PPT，我们最小化P即可得到卡尔曼增益K，对应上例求解K只最小化最优温度值的偏差，即最小化P(K)：
我们由第四步可以看出，k时刻系统的最优温度值=k-1时刻状态估计值（由上一状态的最优温度值加上过程误差）+带卡尔曼增益权值项的偏差。如果观测误差远远大于估计误差，那么K就很小，k时刻的预测值约等于k时刻的状态估计值，如果对i时刻的状态估计值误差远远大于观测误差，此时相应的q较大，K较大，i时刻的状态估计值更倾向于观察的数据。
卡尔曼滤波器的原理基本描述就完成了，希望能帮助大家理解这这5个公式，其算法可以很容易的用计算机的程序实现。下面，我会用程序举一个实际运行的例子。
4． 简单例子（A Simple Example）
这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。
根第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以u(k)=0。因此得出：
x(k|k-1)=x(k-1|k-1) ……… (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。
为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。
更为详细的过程可参考有关的资料。
文章参考了：
1 博文http://hi.baidu.com/irvkqscjezbrtwq/item/4ad3bb018b8c7e37a3332a07
2 自动化所董秋雷上课课件
3 《学习Opencv》 于仕琪 P384 kalman滤波器部分
4 如果做视频跟踪具体参数选择可参考《数字视频处理》黎洪松 P102-106
5 如果想探索其具体推导过程可参考《现代信号处理》 张贤达 P177-188
6.https://www.cnblogs.com/xmphoenix/p/3634536.html
1.Greg Welch & Gary Bishop. << An Introduction to the Kalman Filter >>
2.Tony Lacey. << Tutorial:The Kalman Filter >>.
3.Ramsey Faragher. << Understanding the Basis of the Kalman Filter Via a Simple and Intuitive Derivation >>