51Nod1238最小公倍数之和V3的另一种做法

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题目意思：求
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)$
对于数据范围 $n,m\leq 10^{10}$ 。

其实我们前面将式子化简成了：

$=\sum_{d=1}^nd\sum_{w=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(w)w^2S(\left\lfloor\frac{n}{dw}\right\rfloor)S(\left\lfloor\frac{n}{dw}\right\rfloor)$

其中 $S(n)=\frac{n\times(n+1)}{2}$

其实这个时候我们用杜教筛筛 $\sum_{i=1}^n\mu(i)i^2$ 即可在 $O(n^{\frac{3}{4}})$ 时间内做出（分块套分块再加杜教筛）。

对于 $f(x)=\mu(x)x^2$ 的前缀和 $F(n)$ ，我们可以根据杜教筛的套路，令 $g(x)=x^2$ ，那么 $h=f\bigotimes g$ 就等于（ $\bigotimes$ 为狄利克雷卷积）：

$=\sum_{d|n}\mu(d)d^2\left(\frac{n}{d}\right)^2\\ =n^2\sum_{d|n}\mu(d)\\ =n^2[n=1]\\ =[n=1]$

此时带入杜教筛公式即可得，其中后面要除以 $g(1)$ ，但因为 $g(1)=1$ 这里略去：

$F(n)=\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{i=2}^ng(i)F(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor)\\ =1-\sum_{i=2}^ni^2F(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor)$

就可以直接递归筛了。

但是我们可以继续看，转而枚举乘积 $dw$ ，令 $T=dw$ 则可以得到原式等于：

$=\sum_{T=1}^nS(\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor)S(\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor)\sum_{d|T}^n\mu(d)d^2\left(\frac{T}{d}\right)\\ =\sum_{T=1}^nS(\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor)S(\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor)T\sum_{d|T}\mu(d)d\\$

那么我们只需要杜教筛出后面 $T\sum_{d|T}\mu(d)d$ 即可分块加杜教筛，在 $O(n^{\frac{2}{3}})$ 的时间内做出。

但是如何筛后面的那个呢？

我们来看，现在相当于求这个式子：

$\sum_{d=1}^nd\sum_{w|d}\mu(w)w$

由于前面的式子和现在这个求出来的值是一样的，也就是：

$\sum_{d=1}^nd\sum_{w=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(w)w^2S(\left\lfloor\frac{n}{dw}\right\rfloor)S(\left\lfloor\frac{n}{dw}\right\rfloor)=\sum_{T=1}^nS(\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor)S(\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor)T\sum_{d|T}\mu(d)d$

所以我们可以将 $S$ 相同的部分减去，那么剩下就是：

$\sum_{d=1}^nd\sum_{w=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(w)w^2=\sum_{T=1}^nT\sum_{d|T}\mu(d)d$

所以相当于筛前面的那个东西，我们预处理线性筛出一部分 $\sum_{T=1}^nT\sum_{d|T}\mu(d)d$ 的这个，然后用杜教筛加分块继续求前面的那个即可。

另外一种解释：
相当于我们后面需要杜教筛的 $d\sum_{w|d}\mu(w)w=\sum_{w|d}\mu(w)w^2\frac{d}{w}$
写成狄利克雷卷积的形式就是 $(id^2\cdot\mu)\bigotimes id$ ，我们令 $f=(id^2\cdot\mu)\bigotimes id,g=id^2$ ，那么 $f\bigotimes g=(id^2\cdot\mu)\bigotimes id\bigotimes id^2$ ，交换一下就是 $(id^2\cdot\mu)\bigotimes id^2\bigotimes id$ ，前两个卷出来就是 $\epsilon$ ，然后原式就变成 $\epsilon\bigotimes id=id$ ，然后杜教筛即可。
公式即为：
$F(n)=\sum_{i=1}^ni-\sum_{i=2}^ni^2F(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$

~~我觉得上面这种更好~~

代码，~~咕咕咕~~

参考资料博客：

51Nod1238最小公倍数之和V3的另一种做法

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