模糊聚类分析

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感觉 PPT 有点乱，这里整理一下。

基于模糊等价矩阵的聚类分析方法

主要步骤有三个：

1. 建立模糊矩阵
2. 建立模糊等价矩阵
3. 聚类（求动态聚类图）

下面将分别介绍

建立模糊矩阵

设 $U ={u_1, u_2, …, u_n}$ 为待分类的全体对象，其中每个待分类对象由一组数据表征如下：
$u_i =$ { $x_{i1},x_{i2}, ..., x_{im}$ }
问题转化为：如何建立对象 $u_i 与 u_j$ 之间的相似关系，其中 $i, j \in [1, n]$

建立模糊相似矩阵

建立模糊相似矩阵的注意事项：

• $r_{ij} \in [0, 1]$
• 自反
• 对称

主要过程如下

数据预处理——数据标准化

设论域 U ={x1, x2, …, xn } 为待聚类对象，每个对象由 m 个指标表示其性状：
$x_i=${ $x_{i1},x_{i2}, ..., x_{im}$}
将原始数据矩阵中的元素通过适当的变换压缩到 [0, 1] 上。

有如下两种常用的方法

平移－极差变换（变换至0-1区间）

平移－标准差变换（消除量纲）

值得一提的是，这种方法不一定会把原始数据矩阵中的元素压缩到 [0, 1] 上

模糊相似矩阵的建立

相似系数法

数量积法

其中M为一适当选择的正数，满足

此时， $r_{ij} \in [-1, 1]$，若存在 $r_{ij} < 0$，令所有 $r_{ij}'=(1+r_{ij})/2$ 使得 $r_{ij}' \in [0, 1]$

夹角余弦法

相关系数法

指数相似系数法

指数相似系数法中一行表示一个样本的多个属性。

最大最小法

算数平均最小法

几何平均最小法

上述三种方法要求 xij＞0，否则也要作适当变换。

距离法

绝对值倒数法

绝对值减数法

绝对值指数法

直接距离法

$r_{ij}＝1-c*d(x_i, x_j)$
海明距离

欧式距离

切比雪夫距离

主观评分法

专家直接给出相似度，专家数为 N，r_{ij}(k)表示第 k 个专家给出的 i 与 j 的相似度， $a_{ij}(k)$为专家的自信度。

建立模糊等价矩阵

相似关系->等价关系

一般采用平方法来求传递闭包，也就是模糊等价矩阵

计算次数如下：
模糊相似矩阵 5×5
k = [log25]+1=2+1=3
最坏情况下， $R -> R^2 -> R^4 -> R^8，计算到 R^8$

聚类（求动态聚类图）

对传递闭包依次取截关系

直接基于模糊相似矩阵聚类

建立模糊相似矩阵 R 后，求其传递闭包 t® 计算量较大。
若直接从 R 出发，进行聚类，会怎么样？