写在前面
那就先从一个例题引入吧 （来自《组合数学》P110）
题目
在一次聚会上，有 \(n\) 位男士和 \(n\) 位女士。这 \(n\) 位女士能够有多少种方法选择男舞伴开始第一支舞？如果在一首曲后每个人必须换舞伴，那么第二支舞又有多少种选择方法？
分析
首先，第一支舞有 \(n!\) 中选择，而第二支舞的选择方法数为后面要讲的错位排序数 \(D_n\)
错位排列
首先安利 \(Planet6174\) 的博客讲解 小学生都能看懂的错排问题解析 （高中生表示看懂了）
问题
给定 \(n\) 元集合 \(X\)，它的每一个元素都有一个特定的位置，而现在要求求出没有一个元素在它指定的位置上的排列的数目。（发现就是上面的第二支舞）
特别的，请注意，每一个元素都只有一个限定不能放的位置。
方法
我们这里假定第 \(i\) 个元素不能放在第 \(i\) 个位置上（因为不一样的我们可以通过交换达成，对应顺序没有影响）
用 \(D_n\) 表示 \(\{1,2,3,...n\}\) 的错位排列的数目。那么，对于 \(n=1\) ，不存在可行解； \(n=2\) 时，唯一的错位排列是 2 1； \(n=3\) 时有两个排列 2 3 1 和 3 1 2。因此，我们有 \(D_1=0\)， \(D_2=1\)， \(D_3=2\)。
递推式
考虑将第 \(k\) 个元素放到第 \(n\) 个位置 \((k \neq n)\)
参考资料
1、\(Planet6174\) 小学生都能看懂的错排问题解析
2、《组合数学》第六章 容斥原理及应用-错位排序