CF895C: Square Subsets && 【BZOJ2844】albus就是要第一个出场

这两道题很类似，都是线性基的计数问题，解题的核心思想也一样。

CF895C Square Subsets

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题意

给定\(n\)个数，求多少种选数方案使得选出来的数乘积为完全平方数。\(n\leq 100000,a_i\leq70\)。

完全平方数的本质就是每个质因子的次数为偶数。

所以我们将每一个数唯一分解，然后记录每个质因子的奇偶状态，就得到了一个个01串。问题就变成了有多少个集合中的数异或为0。

我们建好线性基，设线性基的秩为\(m\)，则答案就是\(2^{n-m}-1\)。再判线性基能否组成0，如果能，答案再\(+1\)

因为线性基中的\(m\)个元素是线性无关的，并且可以表达出其他数的所有线性组合，所以其他\(2^{n-m}-1\)(减掉都不选的一种情况)的所有数都能在线性基中找到唯一的一个组合与之异或起来为0。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 

using namespace std;

int n;
ll p[50],cnt;
bool Insert(ll x) {
    for(int i=20;i>=0;i--) {
        if(!(x>>i)&1) continue ;
        if(!p[i]) return p[i]=x,1;
        x^=p[i];
    }
    return 0;
}
ll pri[100];
bool vis[100];
void pre() {
    for(int i=2;i<=70;i++) {
        if(!vis[i]) pri[++pri[0]]=i;
        for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=70;j++) {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}
void break_down(ll v) {
    ll x=0;
    for(int i=1;i<=pri[0];i++) {
        while(v%pri[i]==0) {
            x^=1<<i;
            v/=pri[i];
        }
    }
    if(!Insert(x)) cnt++;
}
int main() {
    pre();
    scanf("%d",&n);
    ll a;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lld",&a);
        break_down(a);
    }
    ll t=2,ans=1;
    for(;cnt;cnt>>=1,t=t*t%1000000007) {
        if(cnt&1)ans=ans*t%1000000007;
    }
    cout<<(ans-1+1000000007)%1000000007;
    return 0;
}

【BZOJ2844】albus就是要第一个出场

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我们就是要求比\(Q\)小的集合有多少个。

和上一道题一样，我们就是要求比\(Q\)小，且能被线性基表示出来的数有多少个，我们设为\(lower\)，则答案为\(lower\cdot 2^{n-m}+1\)。

问题其实就是求\(\leq Q-1\)的的最大的数的\(Rank\)。

我的实现方式不太一样。我们就找\(\leq Q-1\)的数的数量。\(\leq Q-1\)一定是从高到低的前\(i-1\)位相同，第\(i\)位小一些，后面的几位随便。于是我们就考虑\(Q\)的前\(i\)位，我们设为\(Q'\)，然后将所有数的前\(i\)位建线性基。问题就变成求有多少种方法能组合出\(Q'\)。

这样做复杂度要比网上的一般写法多一个\(log\)，不过个人感觉好理解些。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
#define mod 10086

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;
int p[35],a[N];
int Q; 
bool Insert(int a) {
    for(int i=30;i>=0;i--) {
        if(a&(1<<i)) {
            if(!p[i]) return p[i]=a,1;
            else a^=p[i];
        }
    }
    return 0;
}
int cnt;
void build(int k) {
    cnt=0;
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        cnt+=Insert(a[i]>>k);
    }
}
ll ans;
ll pw[N];

int main() {
    n=Get();
    pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=(pw[i-1]<<1)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Get();
    Q=Get();
    for(int i=30;i>=0;i--) {
        if(Q&(1<<i)) {
            build(i);
            if(!Insert((Q>>i)^1)) {
                (ans+=pw[n-cnt])%=mod;
            }
        }
    }
    cout<<(ans+1)%mod;
    return 0;
}