[SDOI2017]数字表格

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3704

这个题的难点在于，与一般的反演的sigma和乘法不同，这个反演题是pi和乘方。

但是，乘法乘方也有优秀的运算律，所以可以做。

fib没有什么可以好的可以卷积的性质，那就单独考虑。

枚举fib的第k项，统计贡献，

指数的位置直接莫比乌斯反演。

剩下k*d这样的

套路地，考虑枚举D=k*d

（争取化成枚举约数的形式，比较好处理）

（而且可以把指数位置的sigma拿出来，分离（这个很关键））

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外面枚举的k从1到n，里面的d从1到n/k

所以，D的范围恰好是1到n

然后就可以枚举D，枚举k为D的约数。里面就是d=D/k了。（本质利用a^(x+y)=a^x*a^y）来处理的。

然后

中间括号的函数可以枚举约数然后nlogn处理

之后根号分块即可。

注意1,2一些开始的递推初值赋值，以及它们的逆元别漏掉。

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=1e6+5;
const int mod=1e9+7;
ll fib[N],inv[N];//inv of fib
int n,m,t;
int miu[N],vis[N],pri[N],tot;
ll g[N],ig[N];//inv of g[]
ll qm(ll x,ll y){
    ll ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=((ll)ret*x)%mod;
        x=((ll)x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
void sieve(){
    miu[1]=1;
    for(reg i=2;i<=N-3;++i){
        if(!vis[i]){
            vis[i]=1;
            miu[i]=-1;
            pri[++tot]=i;
        }
        for(reg j=1;j<=tot;++j){
            if((ll)pri[j]*i>N-3) break;
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                miu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            else{
                miu[i*pri[j]]=miu[i]*miu[pri[j]];
            }
        }
    }
}
int main(){
    rd(t);
    sieve();
    fib[0]=0,fib[1]=1,fib[2]=1;
    inv[1]=1,inv[2]=1;
    g[1]=1,g[2]=1;
    for(reg i=3;i<=N-3;++i) {
        fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
        g[i]=1;    
        inv[i]=qm(fib[i],mod-2);
        //cout<<fib[i]<<" "<<inv[i]<<endl;
    }
    for(reg i=1;i<=N-3;++i){
        //if(fib[i]==0||inv[i]==0) cout<<" wierhru "<<endl;
        for(reg j=i;j<=N-3;j+=i){
            if(miu[j/i]!=0) {
                //cout<<" ok "<<endl;
                if(miu[j/i]==1) g[j]=(g[j]*fib[i])%mod;
                else g[j]=(g[j]*inv[i])%mod;
            }
        }
    }
    g[0]=1;
    ig[0]=1;
    for(reg i=1;i<=N-3;++i){
        //cout<<i<<" : "<<" gi "<<g[i]<<" miu "<<miu[i]<<endl;
        g[i]=(g[i]*g[i-1])%mod;
        ig[i]=qm(g[i],mod-2);
        //cout<<g[i]<<" "<<ig[i]<<endl;
    }
    while(t--){
        rd(n);rd(m);
        if(n>m) swap(n,m);
        ll ans=1;
        for(reg i=1,x=0;i<=n;i=x+1){
            x=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans=(ans*qm((g[x]*ig[i-1])%mod,((ll)(n/i)*(m/i))%(mod-1)))%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/12/13 11:20:35
*/