解题总结

复合函数

1.已知 $f(x)和g(x)$,求 $f(g(x))或g(f(x))$
例题1：设函数 $f(x)=\begin{cases}1 &|x|\geqslant0 \\0 &|x|>1\end{cases}$
求复合函数 $f(f(f(x)))$
2.已知内函数和复合函数，求外函数
方法总结： $(1)$.配凑法：即把复合函数通过配凑得到以内函数这个整体为自变量的函数，就可以求出结果。
例题2：已知 $f(tanx+\frac{1}{tanx})=tan^2x+\frac{1}{tan^2x},求f(x)$的表达式
例题3：设 $f(sin{x \over 2})=cosx+1,求f(x)$的表达式
(2).代入法
假设外函数的自变量，即内函数的函数值为 $t$,从而反解出 $x$,代入复合函数表达式，即可的外函数的表达式。
例题4：设 $f(x)满足f^2(lnx)-2xf(lnx)+x^2lnx=0,且f(0)=0,求f(x)$
3.已知外函数 $f(x)$的表达式和复合函数 $f(g(x))$的表达式，求内函数 $g(x)$的表达式
方法：将 $g(x)$的表达式代入 $f(x)$中，利用这个表达式和已知的复合函数表达式相等，从而解出内函数。
例题：已知 $f(x)=e^{x^2},f(g(x))=1-x,且g(x)\geqslant0,则求g(x)的表达式和定义域$

重要极限

$\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{1}{x})^x=e$
例题1：下列各式正确的是( )
(A). $\lim_{x\rightarrow o^+}(1+{1 \over x})^x=1$
(B). $\lim_{x\rightarrow o^+}(1+{1 \over x})^x=e$
©. $\lim_{x\rightarrow 无穷大}(1-{1 \over x})^x=-e$
(D). $\lim_{x\rightarrow 无穷大}(1+{1 \over x})^{-x}=e$
例题2.设常数 $a\neq \frac{1}{2}，则求\lim_{n\rightarrow 无穷大}ln(\frac{n-2na+1}{n-2na})^n$
例题3：求 $\lim_{x\rightarrow 无穷大}[1+ln(1+x)]^{\frac{2}{x}}$
例题4：求 $\lim_{x\rightarrow 0}x^{-3}[(\frac{2+cosx}{3})^x-1]$
例题5：求 $\lim_{x\rightarrow 0}(cosx)^{\frac{1}{ln(1+x)}}$
例题6：求 $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sinx}{x})^{\frac{1}{x^2}}$
评论可得答案