2018沈阳k（经典的约瑟夫环）

K Let the Flames Begin

首先，对于经典的约瑟夫环问题，我们记 $f(n,m)$ 表示初始有 $n$ 个人，第 $m$ 个出队的人是谁（从0号开始报数）。则有递推式 $f(n,m)=(f(n-1,m-1)+k)\ \%\ n$ 其中 $k$ 表示每报数 $k$ 次一个人出队，注意编号从0开始。

递推式的证明： 考虑现在有 $n$ 个人围成一圈，然后从0开始报数。假设第一个出队的人是 $x$ ，这时还有 $n-1$ 个人，我们从刚刚出去的那个人的下一个人从0重新编号，那么以当前局面重新开始，第 $m-1$ 个出队的人是初始所求的同一个人，但编号不同，差多少呢？即 $f(n,m)=(f(n-1,m-1)+k)\ \%\ n$ 。 +1 -1 细节手玩一下。

回到本题，由于 $m,k$ 可能会很大，但不会同时很大，当 $m$ 较小的时候( $m<=k$ )，直接递推即可。

下面考虑 $m>k$ 的情况，会发现模数大部分情况下远大于 $k$ ，也就是说可以用乘法代替多次加法，这样可以降低时间复杂度。具体代替多少次呢？考虑 $f(a,b)=ans$ ，假设代替 $x$ 次，则 $f(a+x,b+x) = ans+x*k$ 进行取模的等价条件是 $ans+x*k > =a+x$ ，即 $x>=\frac{a-ans}{k-1}$ 即代替次数确定了（整除不整除，快加到 $m$ 了等细节注意一下即可）。

时间复杂度 $O(感觉能过)$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=2e6+10;
ll m,n,k;

ll f[maxn];

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int t;
    cin>>t;
    int T=0;
    while(t--)
    {
        T++;
        cin>>n>>m>>k;
        cout<<"Case #"<<T<<": ";
        if(m<=k){//直接递推
            ll tp=(n-m+1);
            f[1] = (k-1) % tp;  //编号从0开始
            for(int i=2;i<=m;++i) f[i] = (f[i-1]+k)%(++tp);
            cout<<f[m]+1<<endl;
        }
        else{
            if(k==1) cout<<m<<endl;
            else{
                ll tp = n-m+1;
                ll ans = (k-1) % tp;  //编号从0开始
                ll now = 1;
                while(1){
                    if((tp-ans)%(k-1)==0){
                        ll x = (tp-ans)/(k-1) -1 ;
                        x = min(x,m-now);
                        ans += x*k;
                        now += x;
                        tp  += x;
                        if(now==m) break;
                        ans =(ans + k) % (tp+1);
                        now +=1;
                        tp  +=1;
                        if(now==m) break;
                        assert(now <=m);
                    }
                    else{
                        ll x = (tp-ans)/(k-1);
                        x = min(x,m-now);
                        ans += x*k;
                        now += x;
                        tp +=x;
                        if(now==m) break;
                        ans =(ans + k) % (tp+1);
                        now +=1;
                        tp  +=1;
                        if(now==m) break;
                        assert(now <=m);
                    }
                }
                cout<<ans+1<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}