5874. 【NOIP2018提高组模拟9.18】小p的决心（倍增LCA 离线 或 在线）

版权声明：蒟蒻写的文章，能看就行了，同时欢迎大佬们指点错误 https://blog.csdn.net/Algor_pro_king_John/article/details/82859856

Problem

• 维护一个至多 $n$节点的森林， $Q$个操作，支持连边和查询两点 $LCA$ .

Data constraint

• $1\le N\le 100000，1\le Q\le 100000$

Solution

1. 离线做法

• 首先考虑比较简单的离线做法.

• 我们可以考虑先把最终的森林给构出来.

• 再每棵树上任意找一点 $Rt$作为原始根，然后求个倍增数组.

• 然后扫一遍询问，并查集维护到每一个询问操作时，两个点 $u,v$所在的树的真正根 $root$.

• 那么答案其实就是拥有 $l,r,root$两两 $LCA$的最大深度的那个点.

• 具体证明可以分类讨论，这是一种很经典的套路.

• 其实这种套路在5783. 【省选模拟2018.8.8】树 这道题里也出现了，当时我乱搞搞出来了，但这一次却没有想到.

2.在线做法

• 为了使自己印象更深刻一些，下次遇到这种求LCA的题目能更灵活变通，我还打了一下在线做法.

• 不难发现离线做法的时间复杂度实际上就是找 $LCA$的时间复杂度，这个可以在 $O(nlogn)$时间内做到.

• 但如果强制在线，我们需要怎样做呢？

• 很容易想到的是启发式合并倍增数组.

  扫描二维码关注公众号，回复： 4440420 查看本文章

• 但问题是合并后很有可能根会发生改变，也就是倍增的根与当前真正的根不一样.

• 显然，这就是上面离线所说的，需要做的3次LCA.

• 时间复杂度近似 $O(nlog^2n)$，实际上远远比这小.