Given an integer array nums, find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.
Example 1:
Input: [2,3,-2,4]
Output: 6
Explanation: [2,3] has the largest product 6.
Example 2:
Input: [-2,0,-1]
Output: 0
Explanation: The result cannot be 2, because [-2,-1] is not a subarray.
Reference Answer
思路分析
这个求最大子数组乘积问题是由最大子数组之和问题演变而来，但是却比求最大子数组之和要复杂，因为在求和的时候，遇到0，不会改变最大值，遇到负数，也只是会减小最大值而已。而在求最大子数组乘积的问题中，遇到0会使整个乘积为0，而遇到负数，则会使最大乘积变成最小乘积，正因为有负数和0的存在，使问题变得复杂了不少。。
比如，我们现在有一个数组[2, 3, -2, 4]，我们可以很容易的找出所有的连续子数组，[2], [3], [-2], [4], [2, 3], [3, -2], [-2, 4], [2, 3, -2], [3, -2, 4], [2, 3, -2, 4], 然后可以很轻松的算出最大的子数组乘积为6，来自子数组[2, 3].
那么我们如何写代码来实现自动找出最大子数组乘积呢，我最先想到的方比较简单粗暴，就是找出所有的子数组，然后算出每一个子数组的乘积，然后比较找出最大的一个，需要两个for循环，第一个for遍历整个数组，第二个for遍历含有当前数字的子数组，就是按以下顺序找出子数组: [2], [2, 3], [2, 3, -2], [2, 3, -2, 4], [3], [3, -2], [3, -2, 4], [-2], [-2, 4], [4], 我在本地测试的一些数组全部通过，于是兴高采烈的拿到OJ上测试，结果丧心病狂的OJ用一个有15000个数字的数组来测试，然后说我程序的运行时间超过了要求值，我一看我的代码，果然如此，时间复杂度O(n2), 得想办法只用一次循环搞定。我想来想去想不出好方法，于是到网上搜各位大神的解决方法。其实这道题最直接的方法就是用DP来做，而且要用两个dp数组，其中f[i]表示子数组[0, i]范围内的最大子数组乘积，g[i]表示子数组[0, i]范围内的最小子数组乘积，初始化时f[0]和g[0]都初始化为nums[0]，其余都初始化为0。那么从数组的第二个数字开始遍历，那么此时的最大值和最小值只会在这三个数字之间产生，即f[i-1]*nums[i]，g[i-1]*nums[i]，和nums[i]。所以我们用三者中的最大值来更新f[i]，用最小值来更新g[i]，然后用f[i]来更新结果res即可。
Code
class Solution:
def maxProduct(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
if len(nums) == 1:
return nums[0]
res = max_temp = min_temp = nums[0]
for count in nums[1:]:
pre_max, pre_min = max_temp, min_temp
max_temp = max(pre_max*count, count, pre_min*count)
min_temp = min(pre_max*count, count, pre_min*count)
res = max(res, max_temp)
return res
C++ Version
class Solution {
public:
int maxProduct(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 1){
return nums[0];
}
int res = nums[0], min_temp = nums[0], max_temp = nums[0];
for (int i=1; i<nums.size(); ++i){
int pre_max = max_temp;
int pre_min = min_temp;
max_temp = max(max(pre_max*nums[i], nums[i]), pre_min*nums[i]);
min_temp = min(min(pre_max*nums[i], nums[i]), pre_min*nums[i]);
res = max(max_temp, res);
}
return res;
}
};
Note
- 这种应多复杂情况采用采用多个dp数组记录状态的做法很值得学习，后面很多DP问题都是需要借鉴这种多个dp数组记录状态应对复杂场景约束的动态规划问题!