剑指offer-09：变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

思路

f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
…
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：

1. 这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。

2. n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3. n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4. n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，
   那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)
   因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5. n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：
   f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

6. 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
   f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)
   f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
   可以得出：
   f(n) = 2*f(n-1)

7. 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：

       | 1, (n=1)
f(n) = | 
       | 2*f(n-1),(n>=2,n为整数)

代码：

public class Solution09 {

    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return 0;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        Solution09 solu=new Solution09();
        System.out.printf("%d",solu.JumpFloorII(4));
    }
    
}

还有一种简单的实现方式，2^(n-1)可以用位移操作进行，更快。

public class Solution09 {
    public int JumpFloorII(int target) {
        int a=1; 
        return a<<(target-1);
    }
    public static void main(String[] args) {
        Solution09 solu=new Solution09();
        System.out.printf("%d",solu.JumpFloorII(23));
    }
}