说明的是 我们怎样逐步认识到计算机和逻辑思想的界限的，对数学和逻辑的一个重要分支在某些时候，人们只是承认科学是有用的，只停留在对科学所带来的后果的接受和承认，而不是对科学的原动力的接受和承认
- 引言：ENIAC电子数字积分计算机，EDVAC电子离散变量自动计算机
- 莱布尼兹之梦：对一种普遍的人工数学语言和演算规则用这种数学语言表示。关于一个概念符号系统的奇思妙想的第一步，预见到计算出这些概念有多少种组合方式是有必要的，使他系统地研究了基本元素复杂排列的数目问题。《论组合术》展示了一台能够进行基本四则运算的机器，莱布尼兹级数把奇数序列和π这个数继而与圆的面积结合。选取适当的符号并且定出他们的操作规则是很有必要的，世界上的任何一个事物都有一个充足理由，把这样一个符号系统称为文字。需要的一种普遍文字，不仅真实，而且包含了人类全部思想领域的符号系统。揭示出数的深层性质有用，二进制的简洁。
- 布尔把逻辑变成代数：克拉克的复杂演绎可以被归为一套简单的方程。数学书买来更好，因为看完它们比看完其他书花时间更长。说明了某些微分方程如何可能通过把普通代数方法应用于微分算子而得到解决。当x表示一个类时，xx=x总为真，用这种符号是为了和普通乘法对比，许多日常推理都涉及到所谓二级推理，不是三段论。以完备性为目标的逻辑理论，进行最终的检验，就要看他是否包括了一切数学推理。证明了逻辑演绎可以成为数学的一个分支。
- 弗雷格，从突破到绝望：《概念文字》发现了那些连接命题的关系也可被用于分析命题的结构，他把这些关系当了他逻辑的基础，发明形式句法， 不用逻辑，概念文字是计算机程序语言的前身（计算机科学系，哲学体系）（少了一部分）
- 康托尔，在无限中探索：罗素悖论：假如一个集合属于自身是异常的，否则是正常的，那么所有正常的集合的集合属于自身的话，就是正常的，这说明是异常的，那么是由于是由正常集合组成的，将不属于自身的，那么又是正常的。对角线方法：使用一个贴着标签的包裹，被用作标签的东西是包裹里的东西，对角线方法是一种把相同类型的项合到一个包裹里。包裹是集合，标签是一种在集合与其成员之间建立起一一对应的方法。一切自然数组成的集合的基数要大于阿列夫0，为实数C，说明实数比自然数更多。是否存在一个集合的集合，相信在超限之外还有一个绝对的无限，仅靠人类的理解是无法企及的。
- 希尔伯特的营救：用数学证明本身的合理性。数学证明应当是构造性的（克隆内克）要想让克隆内克接受一个对满足某种条件的，实际存在着的数学对象的证明，必须提供一种方法来明确呈现出这种对象。代数不变量结构的简化定理，猜想：在考虑一个特定的代数表达式的所有不变量时，总会有几个主要的不变量，借助它们，所有其他的不变量，总会有几个主要的不变量，借助它们，所有其他的不变量都可以用一个简单的公式来表达，仅在一个非常特殊的情况下才成立。《数论报告》。希尔伯特将欧几里得几何学的一致性归结为算术中的一致性。希尔伯特犯错：这个要证明所要辩护方法被用在了对这些方法不可能导致矛盾的证明中。《数学原理》证明了在一个符号逻辑系统中对数学进行完全的形式化是可行的。元数学：数学与逻辑通过一种纯形式的语言被发展出来，这样一种语言从内部和外部来看，从内部看，它就是数学，每一部演绎都可以弄清楚，从外部看，仅仅是许多公式和符号操作，可以在不考虑意义的基础上进行演算。一致性证明将在元数学内部完成，每一种数学方法都可以被不加限制地运用，但元数学方法却要严格限于那些被希尔伯特称为“有限性”的方法。一阶逻辑的完备性，是任何一个从外部看来有效的公式都可以只用课本中的提出的规则从系统内部导出。希望证明PA是完备的。
- 哥德尔使计划落空：维特根斯坦《逻辑哲学论》。当时人们普遍缺乏元数学和非有限性推理所要求的认识论态度。哥德尔的完备性定理如果不使用非有限性方法就不可能获证。不可判定命题：他重新思考了从外部而不是内部考察一个形式逻辑系统的问题。即便强逻辑系统也不可能把全部数学真理包括在内。U说某个特殊的命题在PM中不可证，那个特殊的命题就是U本身，因此U说U在PM中不可证。U是真的，U在PM中不可证，U的否定。在哥德尔对不可判定命题的存在性的证明中，重点在于这一事实，在PM中的可证明性可以在PM中表示出来。中国剩余定理用到了。即使已经知道这样一个系统是一致的，我们也完全有可能在系统内部证明一个关于自然数的命题，该命题从系统地外部来看是假的。
- PS：本书还有一半，数学和哲学总是有着很神奇的渊源。尤其是在数学的某一方面超出了人们现有的认知时。