浅谈关于强（弱）酸（碱）稀释的图像问题的数学分析

比起学术剽窃导图，窝更期望思维的闪光。——LittlePrincess

吼，话不多说，进入正题

①等浓度等体积

在这里插入图片描述

首先我们知道这样一个东西 $pH=-lg~c(c表示浓度）$
然后我们冷静观察这个坐标系是以 $pH$ 为纵轴以 $V_{添加的水}$ 为横轴的图像
令 $f(x)=pH~~x=V_{添加的水}$
$得:f(x)=-lg(\frac{c_0v_0}{v_0+x})~~(c_0表示初始浓度，v_0表示初始体积）$
则
$f^{'}(x)=\frac{1}{ln~10~(v_0+x)}$
这个东西显然单调递减 $x∈[0,+∞]$
这就可以解释它为什么是上凸的了
对于弱酸曲线我们可以同理求得（~~抄一遍~~ ）
$f_2(x)=-\frac{1}{2}lg(\frac{K(v_0c_0)}{v_0+x})$
$f_2(x)^{'}=\frac{1}{2ln~10~(v_0+x)}$
现在我们已经知道它的大致形状了，那么我们想再研究一下， $f(x)与f_2(x)$ 是否有交点呢？差值最小是多少呢？最大呢？在哪里取得呢？
我们令
$R(x)=f(x)-f_2(x)$
即
$R(x)=\frac{lg~K}{2}-\frac{1}{2}lg(\frac{v_0c_0}{v_0+x})$
显然，在 $\frac{v_0c_0}{v_0+x}=K$ 取零点 $(c_0>K)$ ~~(想想也觉得c_0不可能<=K嘛，这种情况没啥研究价值哇)~~
所以窝要 $diss$ 一下这道题:

2015全国I高考理综化学

这道题看起来没有任何毛病（逃）
但是你冷静观察一下 $C$ ，所谓的无限稀释是什么呢？
显然这个题稀释的加水体积 $x$ 是可求得的，那么这里就不是用的所谓极限法了吧。
窝认为这个题的出题人化学实力水平极高，但忽略了在数学上存在严格相交的点且不是 $+∞$
当年若是没有引起争议，可能是因为考生也都被高考中的套路蒙蔽了双眼
有人可能会 $diss$ 我说：泥那个 $c(H^{+})=\sqrt(Kc(HX)$ 不也是近似的么？
是近似的不错，不过其实是K被缩小罢了，你把K再增大多少（设为 $K'$ ）其实仍然然有
$\exist x_0 ~~，满足\frac{v_0c_0}{v_0+x_0}=K^{'}$
所以说此题是不严谨的!

②等体积等pH

在这里插入图片描述
$设f_3(x)=-\frac{1}{2}lg(\frac{Kc_1v_0}{v_0+x})~~c_1为弱酸初始浓度$
强酸方程依然为 $f(x)$
因为
$c_1=\frac{c_0^2}{K}$
得 $f_3(x)=-\frac{1}{2}lg(\frac{c_0^2 v_0}{v_0+x})$
则 $R_2(x)=f(x)-f_3(x)=\frac{1}{2}lgc_0-\frac{1}{2}lg(\frac{v_0c_0}{v_0+x})$
这个东西显然在 $(0,+∞]$ 上无零点。
那么这种情况就不需大讨论了。