T1 欧拉子图
给一个无向图，如果一个边集的导出子图是一个欧拉回路，则 ans 加上这个边集边数的平方，求 ans ，膜 998244353
$n,m \leq 152501$
sol：
考虑如果边数不是平方，而是一次方，那对于每个边，它对 ans 的贡献就是强行选它的方案数
如果是平方，贡献就是枚举两个边 $x,y$ ( $x,y$ 可以相同)，计算强制选它们的方案数
Task #1 $n \leq 60,m \leq 100$
需要一个多项式算法计算强制包含两条边的欧拉子图方案数
我们把每个点看成一个关于度数的方程，设 $x_i$ 表示第 i 条边选不选，对第 j 个方程 $a_{(j,i)}$ 为 [第 i 条边的端点为 j]
因为每个点度数都要为偶数，于是方程的右边都要在膜 2 意义下为 0
钦定两条边选不选很简单，加 $x_a = 1$ 和 $x_b = 1$ 两个方程即可，这个方程组有多少解，强行选这两个边的方案数就有多少
高斯消元，方案数就是 $2^c$ (c 为自由元个数)
因为在膜 2 意义下进行，可以 bitset 优化一下，复杂度 $O(\frac{n^2 \times m^3}{64})$，这个数据范围很好过
bitset 实战很快，可以在 1s 内消 2000 的 xor 方程组
Task #2 $n,m \leq 300$
随便搞一个 dfs 树，“强制选两个边”就是删掉两条边，钦定一些点度数为奇数，剩下为偶数，可以强行 dp 一下，由于跟正解没啥关系，略去
Task #正解 $n,m \leq 152501$
延续 Task #1 的思路，注意到不同连通分量是独立的
对于一个连通图有多少个欧拉子图呢？观察方程组可以发现是 $2^{m-n+1}$ 个
不连通呢？设 $s$ 为联通块个数，发现是 $2^{m-n+s}$ 个
现在我们要钦定选两条边，发现如果钦定到了一条桥边，肯定是不行的，因为桥两边度全变成了奇数，而之后只能不断加若干偶数
然后发现，删掉两条不是桥的边，其实是可以改变图连通性的，如果连通性不变，连通块是 $2^{m-n+s-2}$ 个，如果改变，连通块是 $2^{m-n+s-1}$ 个
于是问题变成了“有多少种 [删掉两条都不是桥边的边] 的方式，使得图不连通”
前置问题：DZY Loves Chinese II （直接放链接了）
给一个无向图，每次询问如果删掉一个边集，图是否依然连通，每次删掉的边集大小不超过 15
还是非树边 ran 一下，树边 xor 一下，如果两个边权值一样，删掉它们就会改变连通性，用 map 记一下每种权值就可以了
复杂度 $O(mlogm)$
T2 求和
求一个积性函数前缀和，这个函数满足 $f_{p^d} = p^{d-[d \space mod \space p ≠ 0]}$
Task #1 $n \leq 10^7$
线性筛基本操作
Task #2 & #3 $n \leq 10^{12}$
杜教筛基本操作，写的不好只能过 $n \leq 10^9$ 的点
但出题人说 Task #2 是给分块打表的...
打表之后就是一个区间筛，我们把不超过 $\sqrt{n}$的素数加进去筛一下就行了
Task #正解 $n \leq 10^{14}$
构造 $ G = F * μ $ (狄利克雷卷积)，显然当 $d = 1$ 时 $G(p) = 0$
[狄利克雷卷积] $μ * 1 = [n=1]$,$\phi * 1 = n$
$G_n = \sum_{d|n}f_d \times μ_{\frac{n}{d}}$
发现 $G_{p^c} = f_{p^c} - f_{p^{(c-1)}}$
$G_p = f_p \times μ_1 + f_1 \times μ_p = 0$
然后 $G_n = G_{p_1^{c_1}} \times G_{p_2^{c_2}} \times ... \times G_{p_n^{c_n}}$
于是 $n = a^2 \times b^3$
莫比乌斯反演 ：$G = f * μ$ 则 $f = G * 1$
$f_n = \sum_{d|n}G_d$
$f_i = \sum_{i=1}^n \sum_{d|i}G_d = \sum_{d=1}^{n}G_d \times \lfloor \frac{n}{d} \rfloor$
满足 $n = a^2 \times b^3$ 的 $n$ 的数量是 $O(\sqrt{n})$ 的，搜出来即可
T3 数学难题
Task #1 & #2 $n \leq 1000$
$F_{(i,j)} = \frac{(i+1)!}{j!(i-j)!}$
发现矩阵是杨辉三角的第 i 行乘以 i 的值，暴力即可
Task #正解 $n \leq 152501$
构造一下可以发现答案是 $lcm(n-k+1,n-k+2,...,n)$
线段树即可