BZOJ 4455: [Zjoi2016]小星星(容斥+树形dp)

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解题思路

　　首先题目中有两个限制，第一个是两个集合直接必须一一映射，第二个是重新标号后，\(B\)中两点有边\(A\)中也必须有。发现限制\(2\)比较容易满足，考虑化简限制\(1\)。令\(f(S)\)表示重标号后至多出现在\(S\)中的标号且满足条件\(2\)的方案数，令\(g(S)\)表示重标号后恰好出现在\(S\)中的标号满足条件\(2\)的方案数。这应该是容斥里的一个套路。那么有转移方程：
\[ f(S)=\sum\limits_{T \subseteq S}g(T)\Rightarrow g(S)=\sum\limits_{T \subseteq S}(-1)^{\left|S\right |-\left|T\right|}f(T) \]

　　然后问题就转化成为求\(f(S)\)了。令\(h[i][j]\)表示\(i\)点重新标号后是\(j\)的方案数。那么转移的时候考虑\(x\)的儿子\(u\)产生的贡献，可以枚举\(u\)的重标号，然后看他们两个的重标号之间有没有边，如果有的话\(cnt+=h[u][j]\)，最后\(u\)对\(h[i][j]\)的贡献就为\(cnt\)。时间复杂度\(O(2^n*n^3)\)，在下人丑常数大，\(bzoj\)卡了半天才过。。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>

using namespace std;
const int MAXN = 18;
typedef long long LL;

inline int rd(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) f=ch=='-'?0:1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))  x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return f?x:-x;  
}

int n,m,head[MAXN],cnt,a[MAXN][MAXN],zz[MAXN];
int to[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1],tot;
LL g[MAXN][MAXN],ans,now;
bool use[MAXN];

void out(LL x){
    if(!x) return ;
    out(x/10);putchar('0'+x%10);    
}

inline void add(int bg,int ed){
    to[++cnt]=ed,nxt[cnt]=head[bg],head[bg]=cnt;    
}

void dfs(int x,int f){
    int u;LL sum;
    for(register int i=1;i<=tot;i++) g[x][i]=1;
    for(register int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        u=to[i];if(u==f) continue;dfs(u,x);
        for(register int j=1;j<=tot;j++){sum=0;
            for(register int k=1;k<=tot;k++)
                if(a[zz[j]][zz[k]]) sum+=g[u][k];
            g[x][j]*=sum;
        }
    }
}

int main(){
    n=rd(),m=rd();int x,y;
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        x=rd(),y=rd();
        a[x][y]=a[y][x]=1;
    }
    for(register int i=1;i<n;i++){
        x=rd(),y=rd();
        add(x,y),add(y,x);  
    }int num;
    for(register int S=1;S<1<<n;S++){
        tot=0;num=0;now=0;
        for(register int i=1,T=S;T;T>>=1,i++)
            if(T&1) num++,zz[++tot]=i;
        num=n-num;dfs(1,0);for(register int i=1;i<=tot;i++) now+=g[1][i];
        if(num&1) ans-=now;else ans+=now;
    }
    if(!ans) putchar('0');else out(ans);
    return 0;   
}