1，查找算法
常用的查找算法包括顺序查找，二分查找和哈希查找。
1.1 顺序查找(Sequential search)
顺序查找： 依次遍历列表中每一个元素，查看是否为目标元素。python实现代码如下：
#无序列表 def sequentialSearch(alist,item): found = False pos=0 while not found and pos<len(alist): if alist[pos]==item: found=True else: pos = pos+1 return found testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13, 0] print(sequentialSearch(testlist, 3)) print(sequentialSearch(testlist, 13)) #有序列表(升序) def orderedSequentialSearch(orderedList,item): found = False pos = 0 stop = False while not found and not stop and pos<len(orderedList): if orderedList[pos]==item: found=True else: if orderedList[pos]>item: stop=True else: pos = pos+1 return found testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,] print(orderedSequentialSearch(testlist, 3)) print(orderedSequentialSearch(testlist, 13))
顺序查找的复杂度分析如下，无论对于有序列表或无序列表，在最差的情况下，其都需要进行n次比较运算，所以其复杂度为O(n)
查找无序列表：
查找有序列表：（仅仅在item不存在时，性能有所提高）
1.2 二分查找（Binary search）
二分查找：二分查找又叫折半查找，适用于有序列表。查找的方法是找到列表正中间的值，我们假设是m，来跟v相比，如果m>v，说明我们要查找的v在前列表的前半部，否则就在后半部。无论是在前半部还是后半部，将那部分再次折半查找，重复这个过程，知道查找到v值所在的地方。实现二分查找可以用循环，也可以递归。
下图为查找54的过程：
使用循环，python实现代码如下：
#循环 def binarySearch(orderedList,item): found =False first = 0 last = len(orderedList)-1 while not found and first<=last: midpoint = (first+last)//2 if orderedList[midpoint]==item: found=True elif orderedList[midpoint]>item: last = midpoint-1 else: first = midpoint+1 return found testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,] print(binarySearch(testlist, 3)) print(binarySearch(testlist, 13))
使用递归，python实现代码如下：
#递归 def binarySearch(orderedList,item): if len(orderedList)==0: return False else: midpoint = len(orderedList) // 2 if orderedList[midpoint] == item: return True elif orderedList[midpoint] > item: return binarySearch(orderedList[:midpoint],item) #注意得return else: return binarySearch(orderedList[midpoint+1:], item) #注意得return testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,] print(binarySearch(testlist, 3)) print(binarySearch(testlist, 17))
二分查找的时间复杂度分析：最好情况下为1，最坏情况下为log n，因此复杂度为O(log n)。但值得注意的是，使用递归时，进行列表的切片的复杂度为O(K)，并不是依次操作，所以复杂度变大。（可以将切片改为传入索引值： return binarySearch(orderedList,0,midpoint-1,item)和return binarySearch(orderedList,midpoint+1,len(orderedList),item)）
1.3 哈希查找（Hash Search）
哈希技术（Hashing）:哈希技术是在数据的存储位置和数据的 key 之间建立一个确定的映射 f()，使得每个 key 对应一个存储位置 f(key)，其中f()称作哈希函数（hash function），记录数据存储位置的数据结构为哈希表（hash table）.如下图中为一个空的哈希表，key从0-10，共有11个存储位置。
为存储数据54, 26, 93, 17, 77, and 31，以除留余数法（remainder method）为哈希函数: f(n)=n%11，依次计算对应哈希值，如下表所示：
根据计算的hash value，以其为哈希表的key，依次将数据存储在哈希表中，结果如下图所示，当我们需要查找31时，只需利用哈希函数就能找到该数据的存储位置，比较值便能确定是否包含该数据，算符复杂度能达到O(1).
哈希函数进行映射时，会出现两个问题，一是部分存储位置会空缺，造成哈希表的浪费；二是会出现碰撞，如存储44到上述哈希表中，会和77所在的存储位置碰撞。因此，需要有效的哈希函数和碰撞解决途径
1.3.1 其他哈希函数
折叠法（folding method）:
如对于电话号码436-555-4601，对其拆分求和 43+65+55+46+01=210，再以哈希表的长度求余数（210%11=1）
对于字符串‘cat’，将其转换为Ascill表中数值99,97,116，进行求和，再以哈希表的长度求余数。
平方取中法（mid-square method）:
如对于数据44，对其进行平方44*44=1936，取中间两位93，再以哈希表的长度求余数（93%11=5）
1.3.2 冲突解决途径(collision resolution):
（为了更好的解决冲突，哈希表的长度应该为质数）
开放定址法（open addressing）:
该方法是一旦发生冲突，求从哈希表的当前位置依次往后寻找下一个空的存储位置，然后将其插入。。
二次探测(rehashing):上面方法会造成多个哈希值集中在某一区域，争夺同一个地址。可以利用哈希值加上一个数值，再以哈希表的长度求余数。
随机探测：哈希值加上一个随机数（1,3...）。
如上面提到的44插入哈希表时哈希值为0，会和77的哈希值冲突，可以哈希值加一个随机数3，重新计算（0+3）%11=3，
由于3号位置空缺，因此将44插入。（若依旧冲突，继续加3）
平方探测：哈希值加上一个平方数（1,4,9,16）。第一次冲突加1，继续冲突时加4，还是冲突时加9，如此重复下去直到找到数据
链地址法(chain addressing)：发生冲突的数据依次放在一个链表中，哈希表中存放链表地址，如下图所示:
1.3.3 字典的实现（Map）
python的字典就是一种Map数据结构，利用哈希算法来实现键值对的储存和查找。
map常用操作如下：
Map() #创建字典 put(key,value) #加入键值对 get(key) #返回对应value len() # 返回字典长度 del #删除字典键值对 in #查找是否包含键
利用python 实现代码如下：（del如何实现？）
class Map(object): def __init__(self): self.size = 11 #哈希表的长度 self.slots=[None]*self.size #存放key self.data = [None]*self.size #存放value def put(self,key,value): hashvalue = self._hashfunction(key,len(self.slots)) if self.slots[hashvalue]==None: self.slots[hashvalue]=key self.data[hashvalue]=value else: if self.slots[hashvalue]==key: self.data[hashvalue]=value else: nextslot = self._rehash(hashvalue,len(self.slots)) while self.slots[nextslot]!=None and self.slots[nextslot]!=key: #如果某个键值对删除了，会不会出现key之前有None？ nextslot = self._rehash(nextslot,len(self.slots)) if self.slots[nextslot] == None: self.slots[nextslot] = key self.data[nextslot] = value else: self.data[nextslot] = value #del 如何实现？ def _hashfunction(self,key,size): return key%size def _rehash(self,oldhash,size): return (oldhash+1)%size def get(self,key): startslot = self._hashfunction(key,len(self.slots)) found = False stop = False data = None position = startslot while self.slots[position]!=None and not found and not stop: if self.slots[position]==key: data = self.data[position] found = True else: position = self._rehash(position,len(self.slots)) if position==startslot: stop=True return data def __setitem__(self, key, value): self.put(key,value) def __getitem__(self, item): return self.get(item) m = Map() m[54] = 'cat' m[26] = 'dog' m[12] = 'snake' m[52] = 'bear' m[93]="lion" m[17]="tiger" m[77]="bird" m[31]="cow" m[44]="goat" m[55]="pig" m[20]="chicken" print m.slots,m.data # print m[12],m[20] #删除m[77]会引起bug？ # m.slots[0]=None m[44]= "not goat" print m.slots,m.data
由于冲突存在，哈希查找的复杂度并不完全是O(1)，取决于哈希表的负载因子（load factor）λ，λ=(numbers of key)/tablesize，即哈希表中key的数量。
λ越大时，表明key越多，发生碰撞的可能性越高，查找会变慢，λ越小时，碰撞可能性小，但空间资源浪费多。（python中字典的默认拉姆达为0.75？）
采用开放定址中随机探测解决冲突，平均复杂度为 (1+1/(1-r))/2，最坏情况为(1+1/(1-r)2)/2
采用链地址法解决冲突，平均复杂度为 1+λ/2，最坏情况为λ
2，排序算法
常用的排序算法包括：冒泡排序(Bubble sort)，选择排序(Selection sort)，插入排序(Insertion sort)，希尔排序(Shell sort)，归并排序(Merge sort)和快速排序(Quick sort)
2.1 冒泡排序（Bubble sort）
冒泡排序：依次比较相邻的两个数，将小数放在前面，大数放在后面。
排序过程：在第一趟：首先比较第1个和第2个数，将小数放前，大数放后。然后比较第2个数和第3个数，将小数放前，大数放后，如此继续，直至比较最后两个数，将小数放前，大数放后，第一趟排序完成后最大的数被移动到了最后面。继续重复第一趟步骤，直至全部排序完成。下图为第一趟排序过程：
用python实现代码如下：
def bubbleSort(alist): for n in range(len(alist)-1,0,-1): for i in range(n): if alist[i]>alist[i+1]: alist[i],alist[i+1]=alist[i+1],alist[i] alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] bubbleSort(alist) print(alist)
无论列表是否有序，冒泡算法都需要进行比较，共需要进行n*(n-1)/2 次比较，最好的情况下，列表有序时不需要交换，最坏的情况下需要n*(n-1)/2 次交换（每次比较都进行交换），因此冒泡排序的复杂度为O(n2)。对于冒泡排序可以进行改进，使其在列表有序时能停止比较，即短冒泡排序（short bubble），代码如下：
def shortBubbleSort(alist): n = len(alist)-1 exchange = True while n>0 and exchange: exchange = False for i in range(n): if alist[i]>alist[i+1]: exchange = True alist[i],alist[i+1]=alist[i+1],alist[i] n = n-1 alist=[20,30,40,90,50,60,70,80,100,110] shortBubbleSort(alist) print(alist)
2.2 选择排序（selection sort）
选择排序：每一趟从待排序的记录中选出最大的元素，放在已排好序的序列最后，直到全部记录排序完毕。（相比冒泡排序，选择排序每一趟只进行一次交换）
排序过程如下图(前四趟)：
用python实现代码如下：
def selectionSort(alist): for n in range(len(alist)-1,0,-1): pos = n for i in range(n): if alist[i]>alist[pos]: pos = i alist[n],alist[pos]=alist[pos],alist[n] alist = [54,26,93,107,77,31,44,55,28] selectionSort(alist) print(alist)
选择排序和冒泡一样，也需要进行n*(n-1)/2 次比较，但交换列表中数据次数减少，最坏情况下需要n-1次交换，所以复杂度也为O(n2)。
2.3 插入排序（Insertion sort）
插入排序：已排序部分定义在左端，将未排序部分元的第一个元素插入到已排序部分合适的位置。排序过程示意如下：
用python实现代码如下：（插入到有序序列时也可以考虑二分查找）
def insertionSort(alist): for i in range(1,len(alist)): pos = i currentvalue = alist[i] while alist[pos-1]>currentvalue and pos>0: alist[pos]=alist[pos-1] pos = pos-1 alist[pos]=currentvalue alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] insertionSort(alist)
插入排序的复杂度为为O(n2)，其在最好的情况下（列表有序），复杂度为n，最坏的情况下，复杂度为n*(n-1)/2
2.4 希尔排序（Shell sort）
希尔排序：增量递减排序（diminishing increment sort），是对插入排序的改进，减少数据移动操作。其主要是引入一个增量（gap），将原本的序列分成几个子序列，分别对子序列采用插入排序。排序示意过程如下：
1,先以3为增量，将序列分为了三个子序列（54,17,44），（26,77，55），（93, 31, 20），分别对三个子序列进行插入排序
2，再以1为增量（即整个序列），然后再用插入排序，如下图所示，可以发现shift操作明显减少
对于希尔排序，增量的选择十分重要，上面选择了增量3，1。一般也可以选择将增量n/2，n/4....,1(n为列表长度)，上面序列若选择4（n/2）为初始增量，子序列如下：
python实现希尔排序代码如下：（增量为n/2，n/4....,1）
def shellSort(alist): gap = len(alist)//2 while gap>0 : for i in range(gap): gapInsertionSort(i,alist,gap) #print "增量为%s,排序完成后alist为: %s"%(gap,alist) gap = gap//2 def gapInsertionSort(startPos,alist,gap): for i in range(startPos+gap,len(alist),gap): current = alist[i] pos = i while alist[pos-gap]>current and pos>=gap: alist[pos] = alist[pos-gap] pos = pos-gap alist[pos] = current alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] shellSort(alist) print alist
希尔排序的复杂度在O(n)—O(n2)之间，对于上面的gap（n/2,n/4..1）复杂度为O(n2)，若gap为2k-1(1,3,5,7...)，复杂度为O(n3/2)
2.5 归并排序（Merge sort）
归并排序：是一种分而治之的策略（divide and conquer）。采用递归算法，不断的将序列进平分成子序列，直到序列为空或只有一个元素，然后进行排序合并。其排序过程如下：
python实现归并排序代码如下：
def mergeSort(alist): #print "平分序列，alist:%s"%alist if len(alist)>1: mid = len(alist)//2 lefthalf = alist[:mid] righthalf = alist[mid:] mergeSort(lefthalf) mergeSort(righthalf) i=0 j=0 k=0 while i<len(lefthalf) and j<len(righthalf): if lefthalf[i]>righthalf[j]: alist[k]=righthalf[j] j+=1 else: alist[k]=lefthalf[i] i+=1 k+=1 while i<len(lefthalf): alist[k]=lefthalf[i] i+=1 k+=1 while j<len(righthalf): alist[k]=righthalf[j] j+=1 k+=1 #print "开始合并,alist: %s"%alist alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] mergeSort(alist) print alist
归并排序的复杂度为O(n logn)，但上述代码中使用了切片，会使复杂度增加。（切片可以改为传入index？）
2.6 快速排序（quick sort）
快速排序：也是一种分而治之的策略（divide and conquer）。但相比归并排序，快速排序不需要额外的存储空间（列表）。快速排序一般选择列表中一个元素中间点（pivot value），然后将比其小的元素放在列表左边，大的放在右边，将列表进行划分为左右两个子列表，再分别对左右子列表递归的快速排序。排序过程如下（选取第一个元素为中间点）：
python实现归并排序代码如下：
def quickSort(alist): quickSortHelper(alist,0,len(alist)-1) def quickSortHelper(alist,first,last): if first<last: pivotvalue = alist[first] leftmark = first+1 rightmark = last done = False while not done: while leftmark<=rightmark and alist[leftmark]<=pivotvalue: #注意两个判断条件的前后顺序不能换，否则leftmark=last-1时可能会报错：list index out of range leftmark = leftmark+1 while alist[rightmark]>=pivotvalue and leftmark<=rightmark: rightmark = rightmark-1 if leftmark<rightmark: alist[leftmark],alist[rightmark]=alist[rightmark],alist[leftmark] else: done = True alist[first],alist[rightmark]=alist[rightmark],alist[first] print alist quickSortHelper(alist,first,rightmark-1) quickSortHelper(alist,rightmark+1,last) alist = [54,26,93,17,98,77,31,44,55,20] quickSort(alist) print alist
快速排序的复杂度取决于pivot value的选择，如果每次分割都为序列中间值，则需logn分割，复杂度为O(n logn)，若每次分割pivot value都为最小或最大值，则需n次分割，复杂度为O(n2)，复杂度没有归并排序稳定，但不需要额外的内存。 因此选择pivot value值时，可以从序列的first, middle, last三个元素中选择中间值（median of three），来避免总是选择最小或最大值
3.总结
顺序查找：无论列表有序或无序，算法复杂度为O(n)
二分查找：适合有序列表的查找，最坏情况下算法复杂度为O(log n)
哈希查找：可以提供常量级别的算法复杂度O(k) （k为常数1,2,3.....）
冒泡排序，选择排序，插入排序：算法复杂度都为O(n2)
希尔排序：希尔排序在选择排序的基础上引入增量来分割子序列，算法复杂度在在O(n)—O(n2)之间，取决于增量的选择
归并排序：算法复杂度为O(n log n)，但排序过程中需要额外的存储空间
快速排序：快速排序的算法复杂度为O(n log n)，但若选择的分割点不是list的中间元素（取决于pivot value的选择），也可能变坏为O(n2)
参考：http://interactivepython.org/runestone/static/pythonds/SortSearch/toctree.html