jzoj5899 【NOIP2018模拟10.6】资源运输 （矩阵树定理）

版权声明：未经作者本人允许禁止转载。 https://blog.csdn.net/jokerwyt/article/details/82954212

描述

n<=300，给定有权边，求生成树大小和所有生成树边权乘积和。

要点

• 基尔霍夫矩阵： $c[i][i]$为点i的度数， $c[i][j]=-(i,j之间边数)$
• 行列式：枚举每一个1…n的排列，将每行对应的列乘起来， 再乘上 $(-1)^{逆序对个数}$之和。
• PTY式：任意选取i，去掉第i行第i列后的行列式。
• 基尔霍夫矩阵的余子式就是生成树个数。
• 有边权视作多条重边即可。

行列式 $O(n^3)$求法：

• (1)上三角矩阵的行列式就是对角线相乘。
• (2)为了变成上三角矩阵，高斯消元。
• (3)高斯消元所需操作：
• 一行与另一行交换，行列式取相反数。
• 一行乘a，行列式乘a。
• 一行减去另一行的倍数：不变。
• 最好记的性质|AB|=|A||B|，记住这个上面的都可以通过矩阵乘法看出来。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 310, mo = 998244353;
int n,m;
struct edge{
	int w,x,y;
} e[1010];

ll cnt,sum,f[N][N],g[N][N];
ll ksm(ll x,ll y) {
	ll ret=1; for (;y;y>>=1){
		if (y&1) ret = ret * x % mo;
		x = x * x % mo;
	}
	return ret;
}

void print(ll d[N][N]) {
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		for (int j = 1; j < n; j++) printf("%d ",d[i][j]);
		printf("\n");
	}
}

ll solve(ll d[N][N]) {
	int xs = 1;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		for (int j = i; j < n; j++) {
			if (d[j][i]) {
				if (i!=j) xs = -xs;
				for (int z = 1; z < n; z++)
					swap(d[i][z],d[j][z]);
				break;
			}
		}
		for (int j = i+1; j < n; j++) if (d[j][i]) {
			xs = xs * d[i][i] % mo; ll r = d[j][i];
			for (int z = 1; z < n; z++)
				d[j][z] = (d[j][z] * d[i][i] - d[i][z] * r) % mo;
		}
	}
	xs = ksm(xs, mo-2);
	for (int i = 1; i < n; i++) xs = xs * d[i][i] % mo;
	return (xs + mo)  % mo;
}

int main() {
	freopen("avg.in","r",stdin);
//	freopen("avg.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int u,v,w;
		scanf("%d %d %d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);
		u = e[i].x, v = e[i].y;
		f[u][u]++;
		f[v][v]++;
		f[u][v]=f[v][u]=-1;
		
		g[u][u]=(g[u][u]+e[i].w)%mo;
		g[v][v]=(g[v][v]+e[i].w)%mo;
		g[u][v]=g[v][u]=-e[i].w;
	}
	ll cnt = solve(f), sum = solve(g);
	cout<<(sum*ksm(cnt,mo-2)%mo+mo)%mo<<endl;
}