[图] 4.1 最小生成树-普利姆算法Prim O(n^2)稠密图-C语言实现-gif图演示

普利姆算法

思想

1. 取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根，之后往生成树上添加新的顶点 w
2. 在添加的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间必定存在一条边，
3. 并且该边的权值在所有连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。
4. 之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有 n-1 个顶点为止。

性能

O(n^2)，适合稠密图（边多的图）
另一个【克鲁斯卡尔算法】O(eloge)：适合稀疏图（边少的图）
博客：https://blog.csdn.net/summer_dew/article/details/81660723

举例

1. 蓝色的顶点：还未考虑的顶点
2. 黄色的顶点：已经考虑完的顶点
3. 蓝色的线：未考虑的边
4. 紫色的线：考虑范围内的边
5. 红色的线：生成树的边（最短的边）

将a纳入考虑的顶点，变成黄色
第一步：考虑黄色顶点【a】

1. 考虑与a相连的所有边（紫色的边），取出最短的边：18
2. 将最短边，纳入生成树的边（变红色）
3. 将顶点b纳入已考虑的顶点（变黄色）

第二步：考虑黄色的顶点【a,b】

1. 考虑与a,b相连的所有边（紫色的边），取出最短的边8
2. 将最短边，纳入生成树的边（变红色）
3. 将顶点c纳入已考虑的顶点（变黄色）

第三步：继续考虑黄色的顶点【a,b,c】

1. 考虑与a,b,c相连的所有边（紫色的边），取出最短的边20
2. 将最短边，纳入生成树的边（变红色）
3. 将顶点d纳入已考虑的顶点（变黄色）

实现

记：

1. 黄色的顶点，为顶点集【U】，即已落在生成树上的顶点
2. 蓝色的顶点，为顶点集【V-U】，即尚未落在生成树上的顶点

设置一个辅助数组

1. 下标：顶点v
2. lowcost：记录【黄色的点们】到【v】的最短边
3. adjvex：记录【黄色的点集】中哪一个顶点，到v最短

例如：下图，最初始时

1. 下标1：表示顶点b
2. lowcost[1]记录的是当前【黄色点集】到b的最短路径为18。
3. 这个最短路径是从a（adjvex[1]）到b的

// 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义
struct {
     VertexType  adjvex;  // U集中的顶点序号
     VRType     lowcost;  // 边的权值
} closedge[MAX_VERTEX_NUM];

// 普利姆算法
// 从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T，输出T的各条边
void MiniSpanTree_P(MGraph G, VertexType u) {
    k = LocateVex ( G, u ); 
    for ( j=0; j<G.vexnum; ++j ) {// 辅助数组初始化
        if (j!=k) { 
            closedge[j] = { u, G.arcs[k][j].adj };
        }
    }
    closedge[k].lowcost = 0;      // 初始，U＝{u}
    for (i=0; i<G.vexnum; ++i) {
        k = minimum(closedge);  // 求出加入生成树的下一个顶点(k)
        // 此时 closedge[k].lowcost = MIN{closedge[Vi].lowcost | closedge[Vi].lowcost >0, Vi∈V-U}
        printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); // 输出生成树上一条边
        closedge[k].lowcost = 0;    // 第k顶点并入U集
        for (j=0; j<G.vexnum; ++j) {//修改其它顶点的最小边
            if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) {
                closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj }; 
            }
        }
    }
}