无环图的最短路和最长路径

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1.DAG最短路（基于拓扑排序优化的Dijkstra算法）

拓扑排序给予了我们查找顺序的正确性,也减少了不必要的查找.

（1）先对路径长度数组初始化，源点为0，其余为无穷大（这里用100000代替）。

（2）对图进行遍历，因为有n个点，外部循环n次。每个点e个边内部循环e次（复杂度O（N+E））。按照拓扑排序进行遍历。

第一个点必然是源点，对从源点的每一个邻接顶点进行更新。

第二个点必然是邻接源点的点，在第一次的基础上，对第二个点所邻接的点再次更新。

举例：

void Shortest(int *top,int n,int start,int *path)
{
	/*top 数组放置了topsort后的顶点顺序*/
	TopSort(n,top);
	int w[MAX_N];	// 	表示从源点到图内点 v 的最短路径 
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (i==start)
			w[i]=0;
		else
			w[i]=100000;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v=top[i];
		vector <int> :: iterator it;//用vector表示邻接表
		// G[v].adj 表示邻接表 
		for (it=G[v].adj.begin();it!=G[v].adj.end();it++)
		{
			if (w[*it]>w[v]+W[start][*it])
			{
				w[*it]=w[v]+W[start][*it];
				path[*it]=v;
			}
		}
	}
}

2.DAG最长路径（分析关键路径）

一般图求最长路径是毫无意义的，因为可能存在正值圈。但是DAG图没有回路，可以让我们求出最长路径。

求解方法实际上是与求最短路径是类似的，不过路径数组初始化为负无穷大而已。

void Longest(int *top,int n,int start,int *path)
{
	TopSort(n,top);
	int w[MAX_N];	// 	表示从源点到图内点 v 的最短路径 
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (i==start)
			w[i]=0;
		else
			w[i]=-100000;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v=top[i];
		vector <int> :: iterator it;
		for (it=G[v].adj.begin();it!=G[v].adj.end();it++)
		{
			if (w[*it]<w[v]+W[start][*it])
			{
				w[*it]=w[v]+W[start][*it];
				path[*it]=v;
			}
		}
	}
}