有向无环图的最长路径【Java实现】

题目描述

现有一个共n个顶点、m条边的有向无环图（假设顶点编号为从0到n-1），求图的所有路径中边权之和的最大值（不固定起点和终点）

输入描述

第一行两个整数n、m（1≤n≤100,0≤m≤n(n−1)），分别表示顶点数、边数；

接下来m行，每行三个整数u、v、w（0≤u≤n−1,0≤v≤n−1,u≠v,1≤w≤100），表示一条边的起点和终点的编号及边权。数据保证不会有重边

输出描述

输出一个整数，表示路径上边权之和的最大值

样例

输入

6 7
0 1 1
0 2 2
1 3 3
1 4 4
2 4 2
3 5 2
4 5 3

输出

8

思路分析

• 题目不限制起点终点，因此根据贪心的原则，有路径就应该试着走一走，同时应该把每个顶点都当作起点试一遍
• 如果我们能够知道由当前顶点i出发的最大权值之和，再通过比较各个权值之和选出最大值maxVal，就可以作为我们的答案。因此问题关键在于：如何记录由当前顶点i出发的最大权值之和？由此我们可以考虑使用动态规划
• 设置g[n][n]用来存放顶点和边的关系，设置dp数组，其中dp[i]代表由当前顶点i出发所能得到的最大权值之和
• 假设当前顶点i到顶点j之间有路径，那么由dp[i]的取值无非只有两种：
  1. dp[i]本身，即当前知道的i出发能够得到的权值之和，但是由于我们对dp的处理还不完全，因此此时的权值之和不一定是最大的
  2. dp[j] + g[i][j]，即顶点i到顶点j的权重加上从j出发能够得到的权值之和
  3. 选择其中最大的作为dp[i]真正的值【此时i是固定的，j是变化的】
• 此处可以做一个优化，即当dp[i]>0时直接返回dp[i]，因为此时说明dp[i]已经被处理过，内部存储的就是从i点出发的最大值，不需要重复处理
• 最后可以得到整体被处理好的数组dp，其中的最大值就是我们的答案

代码实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    

	public static void main(String[] args) {
    
    
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		int n = scanner.nextInt();
		int m = scanner.nextInt();
		// 存放地图
		int g[][] = new int[n][n];
		// dp[i]代表从 i 出发能够得到的最大权重之和
		int dp[] = new int[n];
		// 对图进行初始化
		for (int i = 0; i < m; i++) {
    
    
			int u = scanner.nextInt();
			int v = scanner.nextInt();
			int w = scanner.nextInt();
			g[u][v] = w;
		}
		int maxVal = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
			maxVal = Math.max(maxVal, getDAGMaxLength(g, dp, i, n));
		}
		System.out.println(maxVal);

	}
	
	// 返回从 i 出发的有向无环图最大权值之和路径
	public static int getDAGMaxLength(int g[][], int dp[], int i, int n) {
    
    
		// 说明 i 点已经处理过，不需要重复计算
		if (dp[i] > 0) {
    
    
			return dp[i];
		}
		for (int j = 0; j < n; j++) {
    
    
			// i 到 j 有路可走
			if (g[i][j] > 0) {
    
    
				// 看看从 j 出发的最大权值之和 + 当前顶点 i 到 j 的权重是否大于直接从 i 出发的最大权值之和
				dp[i] = Math.max(dp[i], getDAGMaxLength(g, dp, j, n) + g[i][j]);
			}
		}
		return dp[i];
	}

}