【GAN】GAN的原理及推导

把GAN的论文看完了，也确实蛮厉害的懒得写笔记了，转一些较好的笔记，前面先贴一些原论文里推理部分，进行备忘。
GAN的解释

算法流程

GAN的理论推理

转自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/27295635

Generative Adversarial Network，就是大家耳熟能详的GAN，由Ian Goodfellow首先提出，在这两年更是深度学习中最热门的东西，仿佛什么东西都能由GAN做出来。我最近刚入门GAN，看了些资料，做一些笔记。

1.Generation

什么是生成（generation）？就是模型通过学习一些数据，然后生成类似的数据。让机器看一些动物图片，然后自己来产生动物的图片，这就是生成。

以前就有很多可以用来生成的技术了，比如auto-encoder（自编码器），结构如下图：

你训练一个encoder，把input转换成code，然后训练一个decoder，把code转换成一个image，然后计算得到的image和input之间的MSE（mean square error），训练完这个model之后，取出后半部分NN Decoder，输入一个随机的code，就能generate一个image。

但是auto-encoder生成image的效果，当然看着很别扭啦，一眼就能看出真假。所以后来还提出了比如VAE这样的生成模型，我对此也不是很了解，在这就不细说。

上述的这些生成模型，其实有一个非常严重的弊端。比如VAE，它生成的image是希望和input越相似越好，但是model是如何来衡量这个相似呢？model会计算一个loss，采用的大多是MSE，即每一个像素上的均方差。loss小真的表示相似嘛？

比如这两张图，第一张，我们认为是好的生成图片，第二张是差的生成图片，但是对于上述的model来说，这两张图片计算出来的loss是一样大的，所以会认为是一样好的图片。

这就是上述生成模型的弊端，用来衡量生成图片好坏的标准并不能很好的完成想要实现的目的。于是就有了下面要讲的GAN。

2.GAN

大名鼎鼎的GAN是如何生成图片的呢？首先大家都知道GAN有两个网络，一个是generator，一个是discriminator，从二人零和博弈中受启发，通过两个网络互相对抗来达到最好的生成效果。流程如下：

主要流程类似上面这个图。首先，有一个一代的generator，它能生成一些很差的图片，然后有一个一代的discriminator，它能准确的把生成的图片，和真实的图片分类，简而言之，这个discriminator就是一个二分类器，对生成的图片输出0，对真实的图片输出1。

接着，开始训练出二代的generator，它能生成稍好一点的图片，能够让一代的discriminator认为这些生成的图片是真实的图片。然后会训练出一个二代的discriminator，它能准确的识别出真实的图片，和二代generator生成的图片。以此类推，会有三代，四代。。。n代的generator和discriminator，最后discriminator无法分辨生成的图片和真实图片，这个网络就拟合了。

这就是GAN，运行过程就是这么的简单。这就结束了嘛？显然没有，下面还要介绍一下GAN的原理。

3.原理

首先我们知道真实图片集的分布 $P_{data}(x)$ ，x是一个真实图片，可以想象成一个向量，这个向量集合的分布就是 $P_{data}$ 。我们需要生成一些也在这个分布内的图片，如果直接就是这个分布的话，怕是做不到的。

我们现在有的generator生成的分布可以假设为 $P_G(x;\theta)$ ，这是一个由 $\theta$ 控制的分布， $\theta$ 是这个分布的参数（如果是高斯混合模型，那么 $\theta$ 就是每个高斯分布的平均值和方差）

假设我们在真实分布中取出一些数据， $\{x^1, x^2, \dots,x^m \}$ ，我们想要计算一个似然 $P_G(x^i;\theta)$

对于这些数据，在生成模型中的似然就是 $L = \prod_{i=1}^{m}P_G(x^i;\theta)$

我们想要最大化这个似然，等价于让generator生成那些真实图片的概率最大。这就变成了一个最大似然估计的问题了，我们需要找到一个 $\theta ^*$ 来最大化这个似然。

$\begin{align} \theta ^* &= arg\ \max_{\theta}\prod_{i=1}^{m}P_G(x^i;\theta) \\ &=arg\ \max_{\theta}\ log\prod_{i=1}^{m}P_G(x^i;\theta) \\ &=arg\ \max_{\theta} \sum_{i=1}^{m}logP_G(x^i;\theta) \\ & \approx arg\ \max_{\theta}\ E_{x\sim P_{data}}[logP_G(x;\theta)] \\ & = arg\ \max_{\theta}\int_{x} P_{data}(x)logP_G(x;\theta)dx - \int_{x}P_{data}(x)logP_{data}(x)dx \\ &=arg\ \max_{\theta}\int_{x}P_{data}(x)(logP_G(x;\theta)-logP_{data}(x))dx \\ &=arg\ \min_{\theta}\int_{x}P_{data}(x)log \frac{P_{data}(x)}{P_G(x;\theta)}dx \\ &=arg\ \min_{\theta}\ KL(P_{data}(x)||P_G(x;\theta)) \end{align}$

寻找一个 $\theta ^*$ 来最大化这个似然，等价于最大化log似然。因为此时这m个数据，是从真实分布中取的，所以也就约等于，真实分布中的所有x在 $P_{G}$ 分布中的log似然的期望。

真实分布中的所有x的期望，等价于求概率积分，所以可以转化成积分运算，因为减号后面的项和 $\theta$ 无关，所以添上之后还是等价的。然后提出共有的项，括号内的反转，max变min，就可以转化为KL divergence的形式了，KL divergence描述的是两个概率分布之间的差异。

所以最大化似然，让generator最大概率的生成真实图片，也就是要找一个 $\theta$ 让 $P_G$ 更接近于 $P_{data}$

那如何来找这个最合理的 $\theta$ 呢？我们可以假设 $P_G(x;\theta)$ 是一个神经网络。

首先随机一个向量z，通过G(z)=x这个网络，生成图片x，那么我们如何比较两个分布是否相似呢？只要我们取一组sample z，这组z符合一个分布，那么通过网络就可以生成另一个分布 $P_G$ ，然后来比较与真实分布 $P_{data}$

大家都知道，神经网络只要有非线性激活函数，就可以去拟合任意的函数，那么分布也是一样，所以可以用一直正态分布，或者高斯分布，取样去训练一个神经网络，学习到一个很复杂的分布。

如何来找到更接近的分布，这就是GAN的贡献了。先给出GAN的公式：

$V(G,D)=E_{x\sim P_{data}}[logD(x)] + E_{x\sim P_G}[log(1-D(x))]$

这个式子的好处在于，固定G， $\max\ V(G,D)$ 就表示 $P_G$ 和 $P_{data}$ 之间的差异，然后要找一个最好的G，让这个最大值最小，也就是两个分布之间的差异最小。

$G^*=arg\ \min_{G}\ \max_D\ V(G,D)$

表面上看这个的意思是，D要让这个式子尽可能的大，也就是对于x是真实分布中，D(x)要接近与1，对于x来自于生成的分布，D(x)要接近于0，然后G要让式子尽可能的小，让来自于生成分布中的x，D(x)尽可能的接近1

现在我们先固定G，来求解最优的D

对于一个给定的x，得到最优的D如上图，范围在(0,1)内，把最优的D带入 $\max_D\ V(G,D)$ ，可以得到：

JS divergence是KL divergence的对称平滑版本，表示了两个分布之间的差异，这个推导就表明了上面所说的，固定G， $\max_D\ V(G,D)$ 表示两个分布之间的差异，最小值是-2log2，最大值为0。

现在我们需要找个G，来最小化 $\max_D\ V(G,D)$ ，观察上式，当 $P_G(x)=P_{data}(x)$ 时，G是最优的。

4.训练

有了上面推导的基础之后，我们就可以开始训练GAN了。结合我们开头说的，两个网络交替训练，我们可以在起初有一个 $G_0$ 和 $D_0$ ，先训练 $D_0$ 找到 $\max_D\ V(G_0,D_0)$ ，然后固定 $D_0$ 开始训练 $G_0$ ,训练的过程都可以使用gradient descent，以此类推，训练 $D_1,G_1,D_2,G_2,\dots$

但是这里有个问题就是，你可能在 $D_0^*$ 的位置取到了 $\max_D\ V(G_0,D_0)=V(G_0,D_0^*)$ ，然后更新 $G_0$ 为 $G_1$ ,可能 $V(G_1,D_0^*)<V(G_0,D_0^*)$ 了，但是并不保证会出现一个新的点 $D_1^*$ 使得 $V(G_1,D_1^*) > V(G_0,D_0^*)$ ，这样更新G就没达到它原来应该要的效果，如下图所示：

避免上述情况的方法就是更新G的时候，不要更新G太多。

知道了网络的训练顺序，我们还需要设定两个loss function，一个是D的loss，一个是G的loss。下面是整个GAN的训练具体步骤：

上述步骤在机器学习和深度学习中也是非常常见，易于理解。

5.存在的问题

但是上面G的loss function还是有一点小问题，下图是两个函数的图像：

$log(1-D(x))$ 是我们计算时G的loss function，但是我们发现，在D(x)接近于0的时候，这个函数十分平滑，梯度非常的小。这就会导致，在训练的初期，G想要骗过D，变化十分的缓慢，而上面的函数，趋势和下面的是一样的，都是递减的。但是它的优势是在D(x)接近0的时候，梯度很大，有利于训练，在D(x)越来越大之后，梯度减小，这也很符合实际，在初期应该训练速度更快，到后期速度减慢。

所以我们把G的loss function修改为 $minimize\ V = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}log(D(x^i))$ ，这样可以提高训练的速度。

还有一个问题，在其他paper中提出，就是经过实验发现，经过许多次训练，loss一直都是平的，也就是 $\max_D\ V(G,D)=0$ ，JS divergence一直都是log2， $P_G$ 和 $P_{data}$ 完全没有交集，但是实际上两个分布是有交集的，造成这个的原因是因为，我们无法真正计算期望和积分，只能使用sample的方法，如果训练的过拟合了，D还是能够完全把两部分的点分开，如下图：