leetcode62 Unique Paths(medium)

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).
The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).
How many possible unique paths are there?

Example 2:
Input: m = 7, n = 3
Output: 28

这道题求矩阵左上角到右下角的路径数，要求只能往右或者往下走。之前接触动态规划比较少，感觉无从下手，参考答案后知道，可以基于动态规划的方式来求解。
解法一：动态规划

int uniquePaths(int m, int n) {
    //到达第0行第j列的路径数只有1条
    vector<int> dp(n, 1);
    //这里直接忽略了第0行和第0列，原因是到达第0行和第0列的某个位置的路径都只有1条
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            //dp[j]表示从左上角到达第i行和第j列的不同路径数
            //对于点(i,j)，只能从上面的点(i-1,j)和左面的点(i,j-1)到达
            dp[j] = dp[j]+dp[j - 1]; 
        }
    }
    return dp[n - 1];
}

解法二：排列组合
一共需要(m-1)+(n-1)步，只能往右走或者往下走，所以实质就是从m+n-2中取出m-1个步数往下走，或者是取出n-1个步数往右走，排列组合。

int uniquePaths(int m,int n){
    long x=m+n-2;//阶乘大，可能溢出，使用long
    long y=min(m,n)-1;
    int up=1,down=1;//分子，分母
    for(int i=0;i<y;i++){
        up*=x--;
    }
    for(int i=y;i>0;i--){
        down*=y;
    }
    return int(up/down);
}

python写法：

def uniquePaths(self,m,n):
    if not m or not n:
        return 0
    dp=[[0]*n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i==0 or j==0:
                dp[i][j]=1
            else:
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
    return dp[-1][-1]