堆排序(最大堆)-----选择排序的一种

前记:

　　堆排序只要理解了原理其实并不难,我在写这个算法时,按照理解一次性就成功了☺

一些前置知识:

1.首先应该明确的是堆(二叉堆)是一颗完全二叉树;

　　因为二叉堆是一颗完全二叉树,所以可以用数组来存储堆中的每一个元素,而且可以通过某个节点在数组中的下标(i)很方便的找到其左右孩子节点的下标以及其父亲节点的下标,如下图所示:
这里写图片描述

由上图还可以推出一个非常有用的性质:

假设我们用数组arr来存储二叉堆,则:
最后一个叶子节点的索引为arr.length-1
最后一个非叶子节点的索引为:(arr.length-1-1)/2

2.大根堆和小根堆:

大根堆:堆中所有父节点都大于其左右子节点的堆
小根堆:堆中所有父节点都小于其左右子节点的堆
或者按照下面的方式进行定义[ https://www.cnblogs.com/CherishFX/p/4643940.html ]
堆的定义：n个关键字序列array[0，…，n-1]，当且仅当满足下列要求：(0 <= i <= (n-1)/2)
　　　　　　① array[i] <= array[2*i + 1] 且 array[i] <= array[2*i + 2]；称为小根堆；
　　　　　　② array[i] >= array[2*i + 1] 且 array[i] >= array[2*i + 2]；称为大根堆；

3.由数组生成大根堆(该过程又叫heapify)

　　n个节点的完全二叉树array[0，…，n-1]，最后一个节点n-1是第(n-1-1)/2个节点的孩子。对第(n-1-1)/2个节点为根的子树调整，使该子树称为堆。
　　对于大根堆，调整方法为：若【根节点的关键字】小于【左右子女中关键字较大者】，则交换。
　　之后向前依次对各节点（(n-1-1)/2 - 1）~ 0为根的子树进行调整，看该节点值是否大于其左右子节点的值，若不是，将左右子节点中较大值与之交换，交换后可能会破坏下一级堆，于是继续采用上述方法构建下一级的堆，直到以该节点为根的子树构成堆为止。
　　反复利用上述调整堆的方法建堆，直到根节点。

4.大根堆排序的原理

　　①将存放在array[0，…，n-1]中的n个元素建成初始堆；
　　②将堆顶元素与堆底元素进行交换，则序列的最大值即已放到正确的位置；
　　③但此时堆被破坏，将堆顶元素向下调整使其继续保持大根堆的性质，再重复第②③步，直到堆中仅剩下一个元素为止。

我写的大堆排序算法如下:

package com.nrsc.sort;

public class HeapSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = { 49, 38, 65, 97, 23, 22, 76, 1, 5, 8, 2, 0, -1, 22 };
        heapSort(arr);
        System.out.println("排序后:");
        for (int i : arr) {
            System.out.println(i);
        }
    }

    private static void heapSort(int[] arr) {
        // 1. 根据原始数组创建最大堆
        buildMaxHeap(arr);

        // 创建完最大堆之后需要对堆顶和堆底的元素进行调换
        for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
            swap(arr, i, 0); // 将堆顶元素和堆底元素进行调换
            // 调换后,此时最大元素已经位于堆底
            // 而此时除堆底之外不满足最大堆的元素正是堆顶的元素,所以对堆顶的元素
            // 进行调整使其满足最大堆的性质就完成了除去堆底元素外其他元素构建最大堆的工作
            adjustDownToUp(arr, 0, i);
        }
    }

    /**
     * 创建初始最大堆
     * 
     * @param arr
     */
    private static void buildMaxHeap(int[] arr) {

        int lastParent = (arr.length - 1) / 2;// 最后一个非叶子节点

        // 从最后一个非叶子节点向前遍历,使所有非叶子节点满足最大堆的性质
        for (int i = lastParent; i >= 0; i--) {
            // arr.length表示要构建最大堆的数组长度
            adjustDownToUp(arr, i, arr.length);
        }
    }

    /**
     * 调整堆中的节点使其满足最大堆
     * 
     * @param arr
     * @param i
     * @param length
     */
    private static void adjustDownToUp(int[] arr, int i, int length) {

        int left = 2 * i + 1; // 左孩子
        int right = 2 * i + 2;// 右孩子
        int largest = i;// 先假设最大的为父节点

        // 如果左子节点大于父节点,则最大值下标(largest)改为左子节点的下标
        if (left < length && arr[left] > arr[i]) {
            largest = left;
        }
        // 如果右子节点大于父节点和左子节点中的最大值,则将最大值下标改为右子节点的
        if (right < length && arr[right] > arr[largest]) {
            largest = right;
        }

        // 如果最大值不是父节点,而是左子节点或右子节点中的一个
        // 就需要将其与父节点进行对换
        if (i != largest) {
            swap(arr, i, largest);

            // 假设左子树与父节点进行了交换,则以左子树为根节点的二叉树可能也会不满足二叉堆
            // 因此还必须对其进行调整
            adjustDownToUp(arr, largest, length);
        }

    }

    /**
     * 进行数组中元素的交换
     * 
     * @param arr
     * @param i
     * @param largest
     */
    private static void swap(int[] arr, int i, int largest) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[largest];
        arr[largest] = tmp;
    }
}