机器人学之3D欧式变换理论与实践

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理论基础

三维空间中的变换主要分为如下几种：

• 射影变换
• 仿射变换
• 相似变换
• 欧式变换

其性质如下图所示：

本文主要介绍欧式变换。

欧式变换

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$

$\mathbf{T}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{R}^T & -\mathbf{R}^T \cdot \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$

Translate by $-C$ (align origins), Rotate to align axes:

$\begin{aligned} P_c &= \mathbf{T} \cdot P_w \\ &= \mathbf{R} \cdot (P_w - C) \\ &= \mathbf{R} \cdot P_w - \mathbf{R} \cdot C \\ &= \mathbf{R} \cdot P_w + \mathbf{t} \end{aligned}$

旋转

旋转矩阵

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}, \quad s.t. \quad \mathbf{RR}^T = \mathbf{I}, det(\mathbf{R}) = 1$

旋转向量（轴角）

$\boldsymbol{\xi} = \alpha\mathbf{a} = log(\mathbf{R})^{\vee} \in \mathbb{R}^3$

• 旋转轴：矩阵 $\mathbf{R}$ 特征值1对应的特征向量（单位矢量）
  $\mathbf{a} = \frac{\boldsymbol{\xi}}{||\boldsymbol{\xi}||} \in \mathbb{R}^3$

• 旋转角
  $\alpha = ||\boldsymbol{\xi}|| = arccos(\frac{tr(\mathbf{R})-1}{2}) \in \mathbb{R}$

罗德里格斯公式（Rodrigues’ rotation formula）：
$\mathbf{R} = cos\alpha \mathbf{I} + (1-cos\alpha) \mathbf{aa}^T + sin\alpha \mathbf{a}^{\wedge}$

单位四元数

2D旋转：单位复数 可用来表示2D旋转。

$z = a + b\vec{i} = r ( cos\theta + sin\theta\vec{i} ) = e^{\theta \vec{i}}, r = ||z||=1$

3D旋转：单位四元数 才可表示3D旋转，四元数是复数的扩充，在表示旋转前需要进行 归一化。

$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} \boldsymbol\varepsilon \\ \eta \end{bmatrix} \quad s.t. \quad ||\mathbf{q}||_2 = 1$

where

$\eta = cos\frac{\alpha}{2}, \quad \boldsymbol\varepsilon = \mathbf{a} sin\frac{\alpha}{2} = \begin{bmatrix} a_1sin \frac{\alpha}{2} \\ a_2sin \frac{\alpha}{2} \\ a_3sin \frac{\alpha}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \end{bmatrix}$

and

$||\mathbf{a}||_2 = 1, \quad \eta^2 + \varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2 + \varepsilon_3^2 = 1$

四元数可以在 保证效率 的同时，减小矩阵1/4的内存占有量，同时又能 避免欧拉角的万向锁问题。

欧拉角

旋转矩阵可以可以分解为绕各自轴对应旋转矩阵的乘积：

$\mathbf{R} = \mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_3$

根据绕轴的不同，欧拉角共分为两大类，共12种，如下图（基于 右手系）所示：


以上不同旋转轴合成的旋转矩阵，每一种都可以看成 同一旋转矩阵的两种不同物理变换：

• 绕 固定轴 旋转
• 绕 动轴 旋转

以 $Z_1Y_2X_3$ 进行为例，旋转矩阵表示为 $\mathbf{R} = \mathbf{R}_z \mathbf{R}_y \mathbf{R}_x$，说明：

• 绕 固定轴 旋转：以初始坐标系作为固定坐标系，分别先后绕固定坐标系的X、Y、Z轴 旋转；
• 绕 动轴 旋转：先绕 初始Z轴 旋转，再绕 变换后的Y轴 旋转，最后绕 变换后的X轴 旋转

即 绕 固定坐标轴的XYZ 和 绕运动坐标轴的ZYX 的旋转矩阵是一样的。

我们经常用的欧拉角一般就是 $Z_1Y_2X_3$ 轴序的 yaw-pitch-roll，如下图所示：

对应的旋转矩阵为

$\mathbf{R} = \mathbf{R}_z \mathbf{R}_y \mathbf{R}_x = \mathbf{R}(\theta_{yaw}) \mathbf{R}(\theta_{pitch}) \mathbf{R}(\theta_{roll})$

其逆矩阵为：

$\begin{aligned} \mathbf{R}^{-1} &= (\mathbf{R}_z \mathbf{R}_y \mathbf{R}_x)^{-1} \\ &= \mathbf{R}_x^{-1} \mathbf{R}_y^{-1} \mathbf{R}_z^{-1} \\ &= \mathbf{R}(-\theta_{roll}) \mathbf{R}(-\theta_{pitch}) \mathbf{R}(-\theta_{yaw}) \end{aligned}$

上面 $\mathbf{R}_x \mathbf{R}_y \mathbf{R}_z$ 以 Cosine Matrix 的形式表示为（右手系）：

$\mathbf{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta) & -sin(\theta) \\ 0 & sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}$

$\mathbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix} cos(\theta) & 0 & sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\theta) & 0 & cos(\theta) \end{bmatrix}$

$\mathbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

旋转转换

• Maths - Rotation conversions
• ptam_cg/src/Tools.cc

平移

$\mathbf{t} = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}^T \in \mathbb{R}^3$

李群和李代数

特殊正交群 $SO(3)$

$SO(3) = \Bigg\{ \mathbf{R} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \Bigg| \mathbf{RR}^T = \mathbf{I}, det(\mathbf{R}) = 1 \Bigg\}$

李代数 $\mathfrak{so}(3)$

$\mathfrak{so}(3) = \Bigg\{ \boldsymbol{\Phi} = \boldsymbol{\phi}^{\wedge} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \Bigg| \boldsymbol{\phi} \in \mathbb{R}^3 \Bigg\}$

where

$\boldsymbol{\phi}^{\wedge} = \begin{bmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3 \end{bmatrix}^{\wedge} = \begin{bmatrix} 0 & -\phi_3 & \phi_2 \\ \phi_3 & 0 & -\phi_1 \\ -\phi_2 & \phi_1 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$

指数映射： $\mathbf{R} = exp(\boldsymbol{\phi}^{\wedge}) {\approx} \mathbf{I} + \boldsymbol{\phi}^{\wedge}$ (first-order approximation)

对数映射： $\boldsymbol{\phi} = log(\mathbf{R})^{\vee}$

特殊欧式群 $SE(3)$

$SE(3) = \Bigg\{ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \Bigg| \mathbf{R} \in SO(3), \mathbf{t} \in \mathbb{R}^{3} \Bigg\}$

李代数 $\mathfrak{se}(3)$

$\mathfrak{se}(3) = \Bigg\{ \boldsymbol{\Xi} = \boldsymbol{\xi}^{\wedge} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \Bigg| \boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^6 \Bigg\}$

where

$\boldsymbol{\xi}^{\wedge} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\rho} \\ \boldsymbol{\phi} \end{bmatrix}^{\wedge} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\phi}^{\wedge} & \boldsymbol{\rho} \\ \mathbf{0}^T, & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}, \quad \boldsymbol{\rho},\boldsymbol{\phi} \in \mathbb{R}^3$

指数映射： $\mathbf{T} = exp(\boldsymbol{\xi}^{\wedge})$
对数映射： $\boldsymbol{\xi} = log(\mathbf{T})^{\vee}$

坐标系手性

坐标系的手性主要分为 右手系 和 左手系，主要通过以下两种方法区分（右手系）：

• 3 finger method
  
• Curling method
  

另外，不同的几何编程库所基于的坐标系的手性会有所不同

• Eigen: 右手系
• OpenGL: 右手系
• Unity3D: 左手系
• ROS tf: 右手系

注意事项

区分 点的变换 和 坐标系本身的变换

$P_a = \mathbf{T}_{AB} \cdot P_b$

指的是 将某点在B坐标系中的坐标表示变换为其在A坐标系中的坐标表示，实质是同一点在不同坐标系下的不同坐标表示，即 点的变换；若将A和B坐标系假设为刚体，则B坐标系变换到A坐标系（坐标系本身的变换）的变换矩阵为 $\mathbf{T}_{AB}^{-1}$。

• 使用传感器（Camera-IMU）标定工具（例如Kalibr）标定出的外参指的是 点的变换
• ROS中 static_transform_publisher 则是 坐标系本身的变换

  static_transform_publisher x y z yaw pitch roll frame_id child_frame_id period_in_ms
  

在分析多个坐标系的姿态变换时，要注意根据点的变换或者坐标系的变换确定矩阵左乘还是右乘：

• 点的变换：矩阵相乘 从右到左，即 矩阵左乘
• 坐标系的变换：矩阵相乘 从左到右，即 矩阵右乘

区分 绕定轴旋转 和 绕动轴旋转

• 绕定轴旋转 和 绕动轴旋转

注意 右手系 和 左手系

• 坐标系手性

注意 同一刚体中不同坐标系姿态变换的相互表示

以带有IMU的相机模组为例，已知 IMU（坐标系）本身的姿态变换 $\mathbf{T}^{B}$ 和 同一模组中Camera到IMU(Body)的坐标系变换 $\mathbf{T}_{BC}$，则 该Camera（坐标系）本身的姿态变换为：

${}_C\mathbf{T} = \mathbf{T}_{BC} \cdot \mathbf{T}^{B} \cdot \mathbf{T}_{BC}^{-1}$

因为上面的变换都是 坐标系的变换，所以矩阵相乘 从左到右，即 矩阵右乘

编程库实践

下面通过示例代码对自己使用过的库进行介绍。

Eigen

Eigen is a C++ template library for linear algebra: matrices, vectors, numerical solvers, and related algorithms.

Eigen::Matrix3d m3_r_z = Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d(0,0,1)).toRotationMatrix();
Eigen::Quaterniond q_r_z(m3_r_z);

Eigen::Vector3f v3_translation(x, y, z);

Eigen::Quaternion<double> q(w, qx, qy, qz);
Eigen::Matrix3f m3_rotation = q.matrix();

Eigen::Matrix4f m4_transform = Eigen::Matrix4f::Identity();
m4_transform.block<3,1>(0,3) = v3_translation;
m4_transform.block<3,3>(0,0) = m3_rotation;

TooN

Tom’s Object-oriented numerics library, is a set of C++ header files which provide basic linear algebra facilities

Array2SE3:

#include <TooN/TooN.h>
#include <TooN/se3.h>

/**
 * @brief transform array to TooN::SE3
 * @param array array of 3x4 row-major matrix of RT
 * @param se3 TooN::SE3 object
 */
void Tools::Array2SE3(const float *array, SE3<> &se3)
{
    Matrix<3,3> m3Rotation;
    for(int i=0;i<3;i++)
    {
        for(int j=0;j<3;j++)
        {
            m3Rotation[i][j] = array[i*4+j];
        }
    }
    SO3<> so3 = SO3<>(m3Rotation);

    Vector<3> v3Translation;
    v3Translation[0] = array[ 3];
    v3Translation[1] = array[ 7];
    v3Translation[2] = array[11];

    se3.get_rotation()    = so3;
    se3.get_translation() = v3Translation;
}

Sophus

C++ implementation of Lie Groups using Eigen commonly used for 2d and 3d geometric problems (i.e. for Computer Vision or Robotics applications)

#include <iostream>
#include <sophus/se3.hpp>

Eigen::Matrix3d R = Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d(0,0,1)).toRotationMatrix();
Eigen::Quaterniond q(R);

Eigen::Vector3d t(1,0,0);

Sophus::SE3 SE3_Rt(R, t);
Sophus::SE3 SE3_qt(q, t);

typedef Eigen::Matrix<double,6,1> Vector6d;

Vector6d se3 = SE3_Rt.log();

std::cout << "se3 hat = " << std::endl
          << Sophus::SE3::hat(se3) << std::endl;
std::cout <<"se3 hat vee = " << std::endl
          << Sophus::SE3::vee( Sophus::SE3::hat(se3) ).transpose() << std::endl;

Vector6d update_se3;
update_se3.setZero();
update_se3(0,0) = 1e-4d;
Sophus::SE3 SE3_updated = Sophus::SE3::exp(update_se3) * SE3_Rt;
std::cout << "SE3 updated = " << std::endl
          << SE3_updated.matrix() << std::endl;

ROS tf & tf2

tf is a package that lets the user keep track of multiple coordinate frames over time. tf maintains the relationship between coordinate frames in a tree structure buffered in time, and lets the user transform points, vectors, etc between any two coordinate frames at any desired point in time.

#include <Eigen/Geometry>
#include <tf_conversions/tf_eigen.h>
#include <tf2/LinearMath/Quaternion.h>
#include <tf2/LinearMath/Matrix3x3.h>
#include <geometry_msgs/TransformStamped.h>

tf::Transform transform;
transform.setOrigin( tf::Vector3(x, y, z) );
tf::Quaternion q;
q.setRPY(r, p, y);
transform.setRotation(q);

geometry_msgs::Quaternion q_msg;

Eigen::Vector3d v3_r;
tf2::Matrix3x3(tf2::Quaternion(q_msg.x, q_msg.y, q_msg.z, quaternion_imu_.w))
.getRPY(v3_r[0], v3_r[1], v3_r[2]);

tf2::Quaternion q_tf2;
q_tf2.setRPY(v3_r[0], v3_r[1], v3_r[2]);
q_tf2.normalize();

geometry_msgs::TransformStamped tf_stamped;
tf_stamped.transform.rotation.x = q.x();
tf_stamped.transform.rotation.y = q.y();
tf_stamped.transform.rotation.z = q.z();
tf_stamped.transform.rotation.w = q.w();