Maximum Minimum identity

一个叫做 $min-max$ 容斥的东西

大概就是：
$max(a,b)=a+b-min(a,b)$
$max(a, b, c) = a + b + c - min(a, b) - min(b, c) - min(a, c) + min(a, b, c)$

当求一个集合的 $max$ 值很复杂的时候，就可以用 $MMI$ 来转化成求 $min$ ，通常在计数 $dp$ 或者概率期望中用到。

有两道例题：
昨天写的luogu3175
其实就用到了这个思想

样例就是这样算的：
设 $t[i]$ 表示第 $i$ 位变成 $1$ 的时间
$E[max(t[0], t[1])] = E[t[0]] + E[t[1]] - E[min(t[0], t[1])]$
$E[t[0]] = 1 / Pr[在一次操作中，第0位变成1的概率] = 1 / (1/2) = 2$
$E[t[1]] = 1 / Pr[在一次操作中，第1位变成1的概率] = 1 / (1/2) = 2$
$E[min(t[0], t[1])] = 1 / Pr[在一次操作中，第0位或第1位变成1的概率] = 1 / (3/4) = 4/3$
$2 + 2 - 4/3 = 8/3 = 2.66666667$

$E[min(t[a], t[b], t[c] ... )] =$
$1 / Pr[在一次操作中，第a位或第b位或第c位或...变成1的概率] =$
$1 / (1 - Pr[在一次操作中，第a, b, c, ...均没有变成1的概率]) =$

$第a, b, c, ...均没有变成1 等价于操作的集合是 (全集 - {a, b, c, ...})的一个子集$
$求出 (全集 - {a, b, c, ...}) 的所有子集的概率之和$

然后就是用 $FMT$ 优化 $dp$ 的过程了

第二道是hdu4624
是clj出的题！

同样也是用 $MMI$ 的想法，把 $E[max\{S\}]$ 转化成 $∑_{T∈S}(−1)^{|T|+1}\times E[min\{T\}]$
就可以概率 $dp$ 了，注意到：
最终有用的

集合大小奇偶性，决定正负
有多少个操作，可以操作到集合中的某一个点 / 有多少个操作，操作不到集合中的任意一个点

所以设 $f[i][j][k]$ 表示
集合中选择了 $i$ 染成黑色，集合大小奇偶性是 $j(0, 1)$ 有 $k$ 个操作，操作不到任意一个点
$f[i][j][k]$ 是集合选取的方案数。

有转移方程： $f[i][j][k] -> f[l][j\ xor\ 1][k + (l - i) \times (l - i - 1) / 2]$
第三维是因为 $l,r$ 同时选到 $i$ 到 $l$ 中间的任意一点都是操作不到任意一个点的

计算最终的期望结果的时候就是用方案数乘概率，因为枚举 $i$ 的子集时发现只有 $p^i$ 变，是一个等比数列，最终贡献就是 $\frac {1}{(1-p)}$

因此只需大概 $O(50^4)$ 预处理 $f$ 和最终期望结果，询问时 $O(1)$ 回答

但是题目要求保留 $15$ 位小数，貌似要用浮点高精度，好麻烦的样子就找标程拍了拍 $qwq$

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 55
#define LL long long
using namespace std;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char c=' ';
	while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}

int t,n;
LL f[maxn][2][5005];
double E[maxn];

inline void prework(){
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=0;i<=50;i++)
		for(int k=0;k<=(i+1)*i/2;k++)
			for(int j=0;j<=1;j++)
				if(f[i][j][k]){
					for(int l=i+1;l<=50;l++)
						f[l][j^1][k+(l-i)*(l-i-1)/2]+=f[i][j][k];
				}
	for(int i=1;i<=50;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			for(int k=0;k<=j*(j+1)/2;k++){
				long double p=0;
				if(f[j][0][k]){
					p=1.0*(k+(i-j+1)*(i-j)/2)/(1.0*(i+1)*i/2);
					if(p==1.0) continue;
					E[i]-=1.0*f[j][0][k]/(1.0-p);
				}
				if(f[j][1][k]){
					p=1.0*(k+(i-j+1)*(i-j)/2)/(1.0*(i+1)*i/2);
					if(p==1.0) continue;
					E[i]+=1.0*f[j][1][k]/(1.0-p);
				}
			}
}

int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out2.txt","w",stdout);
	prework();
	t=rd();
	while(t--){
		n=rd();
		printf("%.5lf\n",E[n]);
	}
	return 0;
}

Maximum Minimum identity

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