第二章 关系数据库
关系数据库简介
1，提出关系模型的是美国IBM公司的E.F.Codd
1970年提出关系数据模型
E.F.Codd, “A Relational Model of Data for Large
Shared Data Banks”, 《Communication of the
ACM》,1970
2，之后，提出了关系代数和关系演算的概念
3，1972年提出了关系的第一、第二、第三范式
4，1974年提出了关系的BC范式
关系数据结构及形式化定义
关系
1，单一的数据结构----关系
现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示
2，逻辑结构----二维表
从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表
3，建立在集合代数的基础上
1. 域（Domain）
2. 笛卡尔积（Cartesian Product）
3. 关系（Relation）
域是一组具有相同数据类型的值的集合。例:
1，整数
2，实数
3，介于某个取值范围的整数
4，指定长度的字符串集合
5，{‘男’，‘女’}
……笛卡尔积
给定一组域D1，D2，…，Dn，允许其中某些域是相同的。
D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn ＝
｛（d1，d2，…，dn）｜diDi，i＝1，2，…，n｝
1，所有域的所有取值的一个组合
2，不能重复
………..
元组（Tuple）
1，笛卡尔积中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组
2，(张清玫，计算机专业，李勇)、
3， (张清玫，计算机专业，刘晨) 等 都是元组
分量（Component）
1，笛卡尔积元素（d1，d2，…，dn）中的每一个值di 叫作一个分量
2，张清玫、计算机专业、李勇、刘晨等都是分量
基数（Cardinal number）
若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为mi（i＝1，2，…，n），则D1×D2×…×Dn的基数M为：
笛卡尔积的表示方法
1，笛卡尔积可表示为一张二维表
2，表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域
关系（Relation）
（1） 关系
D1×D2×…×Dn的子集叫作在域D1，D2，…，Dn上的
关系，表示为
R（D1，D2，…，Dn）
1，R：关系名
2，n：关系的目或度（Degree）
（2）元组
关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示。
（3）单元关系与二元关系
当n=1时，称该关系为单元关系（Unary relation）
或一元关系
当n=2时，称该关系为二元关系（Binary relation）
（4）关系的表示
关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每
列对应一个域
（5）属性
关系中不同列可以对应相同的域
为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）
n目关系必有n个属性
（6）码
候选码（Candidate key）
若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码
简单的情况：候选码只包含一个属性
全码（All-key）
最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）
主码
若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）
主属性
候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute）
不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性（Non-Prime attribute）或非码属性（Non-key attribute）
（7）三类关系
基本关系（基本表或基表）
实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
查询表
查询结果对应的表
视图表
由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对
应实际存储的数据
（8）基本关系的性质
① 列是同质的（Homogeneous）
② 不同的列可出自同一个域
其中的每一列称为一个属性
不同的属性要给予不同的属性名
③ 列的顺序无所谓,，列的次序可以任意交换
④ 任意两个元组的候选码不能相同
⑤ 行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换
⑥ 分量必须取原子值
这是规范条件中最基本的一条
关系模式
关系模式（Relation Schema）是型
关系是值
关系模式是对关系的描述
1，元组集合的结构
属性构成
属性来自的域
属性与域之间的映象关系
2，完整性约束条件
关系模式可以形式化地表示为：
R（U，D，DOM，F）
R 关系名
U 组成该关系的属性名集合
D U中属性所来自的域
DOM 属性向域的映象集合
F 属性间数据的依赖关系的集合
关系模式通常可以简记为
R (U) 或 R (A1，A2，…，An)
R: 关系名
A1，A2，…，An : 属性名
注：域名及属性向域的映象常常直接说明为
属性的类型、长度
关系模式
1，对关系的描述
2，静态的、稳定的
关系
1，关系模式在某一时刻的状态或内容
2，动态的、随时间不断变化的
关系模式和关系往往笼统称为关系
通过上下文加以区别
关系数据库
关系数据库
在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库
关系数据库的型与值
关系数据库的型: 关系数据库模式，是对关系数据库的描述
关系数据库的值: 关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库
关系模型的存储结构
关系数据库的物理组织
1，有的关系数据库管理系统中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成
2，有的关系数据库管理系统从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理
关系操作
基本的关系操作
常用的关系操作
1，查询操作：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积
选择、投影、并、差、笛卡尔基是5种基本操作
2，数据更新：插入、删除、修改
关系操作的特点
1，集合操作方式：操作的对象和结果都是集合，一次一集合的方式
关系代数语言
1，用对关系的运算来表达查询要求
2，代表：ISBL
关系演算语言：用谓词来表达查询要求
1，元组关系演算语言
谓词变元的基本对象是元组变量
代表：APLHA, QUEL
2，域关系演算语言
谓词变元的基本对象是域变量
代表：QBE
具有关系代数和关系演算双重特点的语言
1，代表：SQL（Structured Query Language）
关系的完整性
实体完整性和参照完整性
关系模型必须满足的完整性约束条件称为关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持
用户定义的完整性
应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束
实体完整性
规则2.1 实体完整性规则（Entity Integrity）
1，若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值
2，空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值
实体完整性规则的说明
（1）实体完整性规则是针对基本关系而言的。
一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
（2）现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯
一性标识。
（3）关系模型中以主码作为唯一性标识。
（4）主码中的属性即主属性不能取空值。
主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性
参照完整性
1. 关系间的引用
2. 外码
3. 参照完整性规则
1. 关系间的引用
在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的，自然存在着关系与关系间的引用。
设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是R的外码
基本关系R称为参照关系（Referencing Relation）
基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation）
或目标关系（Target Relation）
外码（续）
关系R和S不一定是不同的关系
目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必须定义在同一个（或一组）域上
外码并不一定要与相应的主码同名
当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名 字，以便于识别
规则2.2 参照完整性规则
若属性（或属性组）F是基本关系R的外码它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须为：
或者取空值（F的每个属性值均为空值）
或者等于S中某个元组的主码值
用户定义的完整性
针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求
关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用程序承担这一功能
关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询
关系代数
1，运算对象是关系
2，运算结果亦为关系
3，关系代数的运算符有两类：集合运算符和专门的关系运算符
传统的集合运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行
专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列
| 运 算 符 |
含 义 |
|
| 集合 运算符 |
∪ |
并 |
| - |
差 |
|
| ∩ |
交 |
|
| × |
笛卡尔积 |
|
| 专门的 关系 运算符 |
σ |
选择 |
| π |
投影 |
|
| 连接 |
||
| ÷ |
除 |
|
传统的集合运算
R和S
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）
相应的属性取自同一个域
并（续）
R∪S
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成
R∪S = { t|t R∨t S }
（2）差（Difference）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R - S
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成
R -S = { t|tR∧tS }
（3） 交（Intersection）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成
R∩S = { t|t R∧t S }
R∩S = R –(R-S）
（4） 笛卡尔积（Cartesian Product）
严格地讲应该是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
R: n目关系，k1个元组
S: m目关系，k2个元组
R×S
列：（n+m）列元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组
后m列是关系S的一个元组
行：k1×k2个元组
R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }
专门的关系运算
先引入几个记号
（1） R，tR，t[Ai]
设关系模式为R(A1，A2，…，An)
它的一个关系设为R
tR表示t是R的一个元组
t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量
（2） A，t[A]， A
若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。
t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。
（3） tr ts
R为n目关系，S为m目关系。
tr R，tsS， tr ts称为元组的连接。
tr ts是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。
（4）象集Zx
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：
Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合
1. 选择（Selection）
选择又称为限制（Restriction）
选择运算符的含义
在关系R中选择满足给定条件的诸元组
σF(R) = {t|tR∧F(t)= '真'}
F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”
基本形式为：X1θY1
θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或<>
选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算
2. 投影（Projection）
从R中选择出若干属性列组成新的关系
πA(R) = { t[A] | t R }
A：R中的属性列
投影操作主要是从列的角度进行运算
投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
3. 连接（Join）
连接也称为θ连接
连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
R S = { | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
θ：比较运算符
连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组
两类常用连接运算
等值连接（equijoin）
θ为“＝”的连接运算称为等值连接
从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
R S = { | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] }
自然连接（Natural join）
自然连接是一种特殊的等值连接
两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
在结果中把重复的属性列去掉
自然连接的含义
R和S具有相同的属性组B
R S = { [U-B] | tr R∧ts S∧tr[B] = ts[B] }
悬浮元组（Dangling tuple）
两个关系R和S在做自然连接时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，这些被舍弃的元组称为悬浮元组。
外连接（Outer Join）
如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接
左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)
只保留左边关系R中的悬浮元组
右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)
只保留右边关系S中的悬浮元组
4. 除运算（Division）
给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。
R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的
域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，
P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：
R÷S={tr[X]|trR∧πY(S)Yx}
Yx：x在R中的象集，x = tr[X]
在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
a3的象集为 {(b4，c6)}
a4的象集为 {(b6，c6)}
S在(B，C)上的投影为
{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
所以 R÷S ={a1}
小结
关系代数运算
关系代数运算
并、差、交、笛卡尔积、投影、选择、连接、除
基本运算
并、差、笛卡尔积、投影、选择
交、连接、除
可以用5种基本运算来表达
引进它们并不增加语言的能力，但可以简化表达
5种基本运算：
并、差、笛卡尔积、投影和选择。
不能用其他运算来表达.
3种简化运算(可以用基本运算来表示) ：
交、连接和除。
1.交：R∩S＝R－（R－S）
2.连接：R S＝XY(R×S)
3.除法：R÷S＝X(R)－X(X(R)×S－R)
可见，引进交、连接、除法运算并没有增加语言的表达能力，但可以大大简化表达式
集合运算实现的数据库操作
(1) 数据记录的添加和插入：关系并运算
(2) 数据记录的删除：关系差运算
(3) 数据记录的修改操作：先删除后插入→关 系差运算＋关系并运算
(4) 关系的连接：关系的笛卡儿积
关系代数表达式
关系代数运算经有限次复合后形成的式子
典型关系代数语言
ISBL（Information System Base Language）
由IBM United Kingdom研究中心研制
用于PRTV（Peterlee Relational Test Vehicle）实验系统
2.6 小结
关系数据库系统是目前使用最广泛的数据库系统
关系数据库系统与非关系数据库系统的区别：
关系系统只有“表”这一种数据结构
非关系数据库系统还有其他数据结构，以及对这些数据结构的操作
关系数据结构
关系
域
笛卡尔积
关系
关系，属性，元组
候选码，主码，主属性
基本关系的性质
关系模式
关系数据库
关系模型的存储结构
关系操作
查询
选择、投影、连接、除、并、交、差
数
第二章 关系数据库
关系数据库简介
1，提出关系模型的是美国IBM公司的E.F.Codd
1970年提出关系数据模型
E.F.Codd, “A Relational Model of Data for Large
Shared Data Banks”, 《Communication of the
ACM》,1970
2，之后，提出了关系代数和关系演算的概念
3，1972年提出了关系的第一、第二、第三范式
4，1974年提出了关系的BC范式
关系数据结构及形式化定义
关系
1，单一的数据结构----关系
现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示
2，逻辑结构----二维表
从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表
3，建立在集合代数的基础上
1. 域（Domain）
2. 笛卡尔积（Cartesian Product）
3. 关系（Relation）
域是一组具有相同数据类型的值的集合。例:
1，整数
2，实数
3，介于某个取值范围的整数
4，指定长度的字符串集合
5，{‘男’，‘女’}
……笛卡尔积
给定一组域D1，D2，…，Dn，允许其中某些域是相同的。
D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn ＝
｛（d1，d2，…，dn）｜diDi，i＝1，2，…，n｝
1，所有域的所有取值的一个组合
2，不能重复
………..
元组（Tuple）
1，笛卡尔积中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组
2，(张清玫，计算机专业，李勇)、
3， (张清玫，计算机专业，刘晨) 等 都是元组
分量（Component）
1，笛卡尔积元素（d1，d2，…，dn）中的每一个值di 叫作一个分量
2，张清玫、计算机专业、李勇、刘晨等都是分量
基数（Cardinal number）
若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为mi（i＝1，2，…，n），则D1×D2×…×Dn的基数M为：
笛卡尔积的表示方法
1，笛卡尔积可表示为一张二维表
2，表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域
关系（Relation）
（1） 关系
D1×D2×…×Dn的子集叫作在域D1，D2，…，Dn上的
关系，表示为
R（D1，D2，…，Dn）
1，R：关系名
2，n：关系的目或度（Degree）
（2）元组
关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示。
（3）单元关系与二元关系
当n=1时，称该关系为单元关系（Unary relation）
或一元关系
当n=2时，称该关系为二元关系（Binary relation）
（4）关系的表示
关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每
列对应一个域
（5）属性
关系中不同列可以对应相同的域
为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）
n目关系必有n个属性
（6）码
候选码（Candidate key）
若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码
简单的情况：候选码只包含一个属性
全码（All-key）
最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）
主码
若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）
主属性
候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute）
不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性（Non-Prime attribute）或非码属性（Non-key attribute）
（7）三类关系
基本关系（基本表或基表）
实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
查询表
查询结果对应的表
视图表
由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对
应实际存储的数据
（8）基本关系的性质
① 列是同质的（Homogeneous）
② 不同的列可出自同一个域
其中的每一列称为一个属性
不同的属性要给予不同的属性名
③ 列的顺序无所谓,，列的次序可以任意交换
④ 任意两个元组的候选码不能相同
⑤ 行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换
⑥ 分量必须取原子值
这是规范条件中最基本的一条
关系模式
关系模式（Relation Schema）是型
关系是值
关系模式是对关系的描述
1，元组集合的结构
属性构成
属性来自的域
属性与域之间的映象关系
2，完整性约束条件
关系模式可以形式化地表示为：
R（U，D，DOM，F）
R 关系名
U 组成该关系的属性名集合
D U中属性所来自的域
DOM 属性向域的映象集合
F 属性间数据的依赖关系的集合
关系模式通常可以简记为
R (U) 或 R (A1，A2，…，An)
R: 关系名
A1，A2，…，An : 属性名
注：域名及属性向域的映象常常直接说明为
属性的类型、长度
关系模式
1，对关系的描述
2，静态的、稳定的
关系
1，关系模式在某一时刻的状态或内容
2，动态的、随时间不断变化的
关系模式和关系往往笼统称为关系
通过上下文加以区别
关系数据库
关系数据库
在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库
关系数据库的型与值
关系数据库的型: 关系数据库模式，是对关系数据库的描述
关系数据库的值: 关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库
关系模型的存储结构
关系数据库的物理组织
1，有的关系数据库管理系统中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成
2，有的关系数据库管理系统从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理
关系操作
基本的关系操作
常用的关系操作
1，查询操作：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积
选择、投影、并、差、笛卡尔基是5种基本操作
2，数据更新：插入、删除、修改
关系操作的特点
1，集合操作方式：操作的对象和结果都是集合，一次一集合的方式
关系代数语言
1，用对关系的运算来表达查询要求
2，代表：ISBL
关系演算语言：用谓词来表达查询要求
1，元组关系演算语言
谓词变元的基本对象是元组变量
代表：APLHA, QUEL
2，域关系演算语言
谓词变元的基本对象是域变量
代表：QBE
具有关系代数和关系演算双重特点的语言
1，代表：SQL（Structured Query Language）
关系的完整性
实体完整性和参照完整性
关系模型必须满足的完整性约束条件称为关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持
用户定义的完整性
应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束
实体完整性
规则2.1 实体完整性规则（Entity Integrity）
1，若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值
2，空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值
实体完整性规则的说明
（1）实体完整性规则是针对基本关系而言的。
一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
（2）现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯
一性标识。
（3）关系模型中以主码作为唯一性标识。
（4）主码中的属性即主属性不能取空值。
主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性
参照完整性
1. 关系间的引用
2. 外码
3. 参照完整性规则
1. 关系间的引用
在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的，自然存在着关系与关系间的引用。
设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是R的外码
基本关系R称为参照关系（Referencing Relation）
基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation）
或目标关系（Target Relation）
外码（续）
关系R和S不一定是不同的关系
目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必须定义在同一个（或一组）域上
外码并不一定要与相应的主码同名
当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名 字，以便于识别
规则2.2 参照完整性规则
若属性（或属性组）F是基本关系R的外码它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须为：
或者取空值（F的每个属性值均为空值）
或者等于S中某个元组的主码值
用户定义的完整性
针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求
关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用程序承担这一功能
关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询
关系代数
1，运算对象是关系
2，运算结果亦为关系
3，关系代数的运算符有两类：集合运算符和专门的关系运算符
传统的集合运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行
专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列
| 运 算 符 |
含 义 |
|
| 集合 运算符 |
∪ |
并 |
| - |
差 |
|
| ∩ |
交 |
|
| × |
笛卡尔积 |
|
| 专门的 关系 运算符 |
σ |
选择 |
| π |
投影 |
|
| 连接 |
||
| ÷ |
除 |
|
传统的集合运算
R和S
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）
相应的属性取自同一个域
并（续）
R∪S
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成
R∪S = { t|t R∨t S }
（2）差（Difference）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R - S
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成
R -S = { t|tR∧tS }
（3） 交（Intersection）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成
R∩S = { t|t R∧t S }
R∩S = R –(R-S）
（4） 笛卡尔积（Cartesian Product）
严格地讲应该是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
R: n目关系，k1个元组
S: m目关系，k2个元组
R×S
列：（n+m）列元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组
后m列是关系S的一个元组
行：k1×k2个元组
R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }
专门的关系运算
先引入几个记号
（1） R，tR，t[Ai]
设关系模式为R(A1，A2，…，An)
它的一个关系设为R
tR表示t是R的一个元组
t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量
（2） A，t[A]， A
若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。
t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。
（3） tr ts
R为n目关系，S为m目关系。
tr R，tsS， tr ts称为元组的连接。
tr ts是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。
（4）象集Zx
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：
Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合
1. 选择（Selection）
选择又称为限制（Restriction）
选择运算符的含义
在关系R中选择满足给定条件的诸元组
σF(R) = {t|tR∧F(t)= '真'}
F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”
基本形式为：X1θY1
θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或<>
选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算
2. 投影（Projection）
从R中选择出若干属性列组成新的关系
πA(R) = { t[A] | t R }
A：R中的属性列
投影操作主要是从列的角度进行运算
投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
3. 连接（Join）
连接也称为θ连接
连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
R S = { | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
θ：比较运算符
连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组
两类常用连接运算
等值连接（equijoin）
θ为“＝”的连接运算称为等值连接
从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
R S = { | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] }
自然连接（Natural join）
自然连接是一种特殊的等值连接
两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
在结果中把重复的属性列去掉
自然连接的含义
R和S具有相同的属性组B
R S = { [U-B] | tr R∧ts S∧tr[B] = ts[B] }
悬浮元组（Dangling tuple）
两个关系R和S在做自然连接时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，这些被舍弃的元组称为悬浮元组。
外连接（Outer Join）
如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接
左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)
只保留左边关系R中的悬浮元组
右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)
只保留右边关系S中的悬浮元组
4. 除运算（Division）
给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。
R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的
域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，
P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：
R÷S={tr[X]|trR∧πY(S)Yx}
Yx：x在R中的象集，x = tr[X]
在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
a3的象集为 {(b4，c6)}
a4的象集为 {(b6，c6)}
S在(B，C)上的投影为
{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
所以 R÷S ={a1}
小结
关系代数运算
关系代数运算
并、差、交、笛卡尔积、投影、选择、连接、除
基本运算
并、差、笛卡尔积、投影、选择
交、连接、除
可以用5种基本运算来表达
引进它们并不增加语言的能力，但可以简化表达
5种基本运算：
并、差、笛卡尔积、投影和选择。
不能用其他运算来表达.
3种简化运算(可以用基本运算来表示) ：
交、连接和除。
1.交：R∩S＝R－（R－S）
2.连接：R S＝XY(R×S)
3.除法：R÷S＝X(R)－X(X(R)×S－R)
可见，引进交、连接、除法运算并没有增加语言的表达能力，但可以大大简化表达式
集合运算实现的数据库操作
(1) 数据记录的添加和插入：关系并运算
(2) 数据记录的删除：关系差运算
(3) 数据记录的修改操作：先删除后插入→关 系差运算＋关系并运算
(4) 关系的连接：关系的笛卡儿积
关系代数表达式
关系代数运算经有限次复合后形成的式子
典型关系代数语言
ISBL（Information System Base Language）
由IBM United Kingdom研究中心研制
用于PRTV（Peterlee Relational Test Vehicle）实验系统
2.6 小结
关系数据库系统是目前使用最广泛的数据库系统
关系数据库系统与非关系数据库系统的区别：
关系系统只有“表”这一种数据结构
非关系数据库系统还有其他数据结构，以及对这些数据结构的操作
关系数据结构
关系
域
笛卡尔积
关系
关系，属性，元组
候选码，主码，主属性
基本关系的性质
关系模式
关系数据库
关系模型的存储结构
关系操作
查询
选择、投影、连接、除、并、交、差
数据更新
插入、删除、修改
关系的完整性约束
实体完整性
参照完整性
外码
用户定义的完整性
关系数据语言
关系代数语言
关系演算语言
元组关系演算语言 ALPHA
域关系演算语言 QBE
据更新
插入、删除、修改
关系的完整性约束
实体完整性
参照完整性
外码
用户定义的完整性
关系数据语言
关系代数语言
关系演算语言
元组关系演算语言 ALPHA
域关系演算语言 QBE