题目描述
一个整数总可以拆分为2的幂的和,例如: 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如:4可以拆分成:4 = 4,4 = 1 + 1 + 1 + 1,4 = 2 + 2,4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数,例如f(7)=6. 要求编写程序,读入n(不超过1000000),输出f(n)%1000000000。
输入描述:
每组输入包括一个整数:N(1<=N<=1000000)。
输出描述:
对于每组数据,输出f(n)%1000000000。
示例1
输入
7
输出
6
//计算机考研复试真题 整数拆分 /* 程序设计思想:搬运一下思路: 记f(n)为n的划分数,我们有递推公式: f(2m + 1) = f(2m), f(2m) = f(2m - 1) + f(m), 初始条件:f(1) = 1。 证明: 证明的要点是考虑划分中是否有1。 记: A(n) = n的所有划分组成的集合, B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合, C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合, 则有: A(n) = B(n)∪C(n)。 又记: f(n) = A(n)中元素的个数, g(n) = B(n)中元素的个数, h(n) = C(n)中元素的个数, 易知: f(n) = g(n) + h(n)。 以上记号的具体例子见文末。 我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m), 首先,2m + 1 的每个划分中至少有一个1,去掉这个1,就得到 2m 的一个划分,故 f(2m + 1)≤f(2m)。 其次,2m 的每个划分加上个1,就构成了 2m + 1 的一个划分,故 f(2m)≤f(2m + 1)。 综上,f(2m + 1) = f(2m)。 接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m), 把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个,就得到 A(2m - 1) 中的一个划分,故 g(2m)≤f(2m - 1)。 把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1,就得到 B(2m) 中的一个划分,故 f(2m - 1)≤g(2m)。 综上,g(2m) = f(2m - 1)。 把 C(2m) 中的划分的元素都除以2,就得到 A(m) 中的一个划分,故 h(2m)≤f(m)。 把 A(m) 中的划分的元素都乘2,就得到 C(2m) 中的一个划分,故 f(m)≤h(2m)。 综上,h(2m) = f(m)。 所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。 这就证明了我们的递推公式。 */ //程序实现: #include<iostream> #define MAXSIZE 1000001 using namespace std; int main(){ int n; int result[MAXSIZE]; result[0] = result[1] = 1; for(int i = 2; i<MAXSIZE; ++i){ if(i%2 == 0){ result[i] = (result[i-1] + result[i/2])%1000000000; } else{ result[i] = result[i-1]%1000000000; } } while(scanf("%d",&n) != EOF) cout<<result[n]<<endl; return 0; }