Luogu P1879 [USACO06NOV]玉米田Corn Fields

题意

给出 $n*m$ 的矩阵，选出若干个 $0$ 变成 $2$ ，使得没有两个 $2$ 有公共边，求方案数量。
数据范围 $\quad1\leqslant n,m \leqslant 12$

题解

看到这么小的数据范围，显然可以状态压缩，考虑状压缩DP。
设 $f[i][j]$ 表示考虑前 $i$ 行且第 $i$ 行状态为 $j$ （压缩）的方案数量。
枚举 $k$ 表示上一行的状态（压缩），则有： $f[i][j]=\sum\limits_{k能合法转移到j} f[i-1][k]$
最后的答案为 $\sum_k f[n][k]$ ，时间复杂度 $\Theta(m4^n)$
代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 100000000
int m, n, f[15][4100], F[15], field[15][15];
bool check[4100];//只考虑本行是否合法 
int main() {
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&field[i][j]);
    for (int i=1;i<=m;i++)//压缩行 
        for (int j=1;j<=n;j++)
            F[i]=(F[i]<<1)+field[i][j];
    for (int i=0;i<(1<<n);i++)
        check[i]=((i&(i<<1))==0) && ((i&(i>>1))==0);
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<(1<<n);j++)
            if(check[j] && ((j&F[i])==j))
                for(int k=0;k<(1<<n);k++)
                    if((k & j)==0)
                        f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%mod;
    int ans=0;
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
        ans+=f[m][i],ans%=mod;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

上面的方法能很快地通过本题，但根据本题的数据范围，计算次数约为两亿次左右，有些玄学，因此我们需要更高效的算法。考虑更换方程定义。
设 $f[i][j][k]$ 表示考虑到 $i$ 行 $j$ 列的格子，此时的轮廓线状态为 $k$ (压缩)。
例如：下表 $(*)$ 处表示状态 $f[2][2][1010_{(2)}]$

	$1$	$0$	$1$
$0$	$(*)$

这个定义依然很好转移，处理好边界即可，而且可以用滚动数组优化掉前两维。
最后的答案是 $\sum_k f[n][m][k]$ ，这个算法的时间复杂度为 $\Theta(nm2^n)$ ，运算量约为六十万次，能轻易AC。
代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 100000000
#define maxn 13
int n,m,a[maxn][maxn];
int f[2][1<<maxn],cur;
int main(void){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            memset(f[cur^=1],0,sizeof f[cur]);
            for(int k=0;k<(1<<m);k++){
                int up=(k&(1<<(j-1))),left=0;//拆出上面和左边的位置
                if(j>1) left=(k&(1<<(j-2)));
                if(i==1&&up!=0) continue;//第一行的上面不可能被选择
                if(j==1&&left!=0) continue;//第一列的左边不可能被选择
                if(left&&up)//左边和上面都选了，只能不选
                    f[cur][k^(1<<j-1)]=(f[cur][k^(1<<j-1)]+f[cur^1][k])%mod;
                else if(up)//上面选了，只能不选
                    f[cur][k^(1<<j-1)]=(f[cur][k^(1<<j-1)]+f[cur^1][k])%mod;
                else if(left)//左边选了，只能不选
                    f[cur][k]=(f[cur][k]+f[cur^1][k])%mod;
                else if(a[i][j]==0)//不为0，只能不选
                    f[cur][k]=(f[cur][k]+f[cur^1][k])%mod;
                else{
                    f[cur][k]=(f[cur][k]+f[cur^1][k])%mod;//选
                    f[cur][k^(1<<j-1)]=(f[cur][k^(1<<j-1)]+f[cur^1][k])%mod;//不选
                }
            }
        }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<(1<<m);i++)//统计答案
        ans=(ans+f[cur][i])%mod;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

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