快慢指针法总结 链表找环 leetcode 141 142 & 202

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/luke2834/article/details/79393145

前言

• 这类题，做法很简单，但是我每次证明正确性的时候总是卡壳，所以这次整理一版我个人觉得比较清晰的证明，希望能以后能记住。。

思路

• 题型特点：给你一个链表，或者只知道递推关系的数据（形如初始是$a_0$，递推关系是$a_t = f(a_{t-1})$），让你在O(1)空间集线性时间里，判断数据是否有环，进一步会问环起点是哪个数据
• 判断是否有环算法：两个指针，慢指针每次走一步，快指针每次走两步，能相遇则有环，否则无
• 找环起点算法：在上一步基础上，从相遇点各出发一个指针，每次走一步，再相遇点就是环起点
• 证明判断有环算法，若有环则一定会相遇：
  
  • 设在t时刻相遇，无环段长$x_1$, 有环段长$x_2$，则有
    $$t = x_1 + c + k_1x_2 \\ 2t = x_1 + c + k_2x_2$$
  • 两式相减得到：$t = (k_2 - k_1) x_2$，
  • 则能相遇的条件是，满足对任意 $x_1, x_2 \in N$，存在
    $$k_1, k_2, t \in N \\ s.t. \quad t = (k_2 - k_1)x_2, \\ t \geq x_1$$
  • 显然可以令$k_1 = 0$，$k_2$足够大就可以满足上述条件
• 证明第二个算法中相遇点是环头：
  
  • 把上一个证明中的两个等式消元掉t，并换元简化一下式子，得到
    $$x_1 = kx_2 - c$$
  • 我们的目的，是得到$x_1$，根据等式，显然分别从头和$x_1 + c$的位置出发，最后会在$x_1$相遇

leetcode相关题目

141. Linked List Cycle

• 判断链表是否有环
• 实现：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    bool hasCycle(ListNode *head) {
        if (!head)
            return false;
        auto slow = head, fast = head;
        do {
            if (fast->next == NULL || fast->next->next == NULL)
                return false;
            fast = fast->next->next;
            slow = slow->next;
        }while (slow != fast);
        return true;
    }
};

142. Linked List Cycle II

• 找环头
• 实现：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
        if (!head)
            return NULL;
        auto slow = head, fast = head;
        do {
            if (fast->next == NULL || fast->next->next == NULL)
            {
                fast = NULL;
                break;
            }
            fast = fast->next->next;
            slow = slow->next;
        }while (slow != fast);
        if (!fast)
            return NULL;
        slow = head;
        while (slow != fast){
            fast = fast->next;
            slow = slow->next;
        }
        return fast;

    }
};

202. Happy Number

• 给定next函数和初始值n，next为n的各十进制位的平方和
• 求最后能否变为1
• 思路：我们会发现，不管初始n多大，由于是int值，经过一次变换后，最大不会超过1000
• 完全可以通过判断是否提前有环来解
• 实现：

class Solution {
public:
    int next(int x){
        int ret = 0;
        while (x > 0){
            ret += (x % 10) * (x % 10);
            x /= 10;
        }
        return ret;
    }
    bool isHappy(int n) {
        int slow = n, fast = n;
        do{
            slow = next(slow);
            fast = next(fast);
            fast = next(fast);
            if (fast == 1)
                return true;
        }while(slow != fast);
        return false;
    }
};