正题

这真是一个神奇的东西。

既然有这个算法，那么就一定有他能解决的题目。

我们以这一题为例：[POI2015]PUS。

给出n个数，m个操作，每次规定l到r中的k个数比这个区间的其他数大，询问是否有解。

简化问题，给出n个数，m个操作，每次规定第a个数比第b个数大。（还规定一些数的值

那么很明显是一个差分约束的问题。

每次建一条边 $b\to a$ 。

最后入度为0的为起点，跑一次最长路，就是每个点最小权值，如果最小权值大于规定的值，那么无解，如果有环，那么无解。

如果最小权值大于1e9无解。（以上的最小权值指的是每一个点的最小权值

就是个拓扑序上bfs。

做完了。

转化为原题，每次要连的边为 $(r-l+1-k)*k$ ，所以边就爆炸了。

想法一

我们可以建一个虚点x，从 $(r-l+1-k)$ 个点连到这个点，然后从这个点连向k个点，令第一组边权为0，第二组的边权为1，总边数为 $r-l+1$ 。好优秀啊。

然而m个操作，爆炸。

优化

k个点把这个区间分成了k+1各区间？对。

每个区间向虚点连边？对。

空间？爆炸。

怎么优化？区间 $\to$ 想到线段树

我们可以建一棵线段树，令儿子指向父亲，边权为0。然后线段树可以使一个区间对应线段树上的 $log(n)$ 点。

那么我们让这 $log(n)$ 个点向虚点连边就可以了。

空间？线段树永远是2n条边，每次log(n)，一共 $\sum_{i=1}^{m}(k_i+1)$ 次，从虚点连到k个点，一共要连k条边，所以一共 $\sum k$ 条边。

加起来？ $2n+log(n)*\sum k+\sum k+m=???$

明显不会爆炸。

做完了？对，其实判环这个功能拓扑排序本来就拥有。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;

int n,t,m;
int a[500010],dis[500010];
struct edge{
    int y,next,c;
}s[6000010];
int op[500010];
int first[500010],len=0,in[500010];
int tot;
queue<int> f;

void ins(int x,int y,int c){
    len++;
    s[len]=(edge){y,first[x],c};first[x]=len;
    in[y]++;
}

void build_tr(int now,int l,int r){
    if(l==r) {op[now]=l;return ;}
    int mid=(l+r)/2;
    op[now]=++tot;
    build_tr(now<<1,l,mid);
    build_tr((now<<1)|1,mid+1,r);
    ins(op[now<<1],op[now],0);
    ins(op[(now<<1)|1],op[now],0);
}

void get_sub(int now,int x,int y,int l,int r){
    if(x==l && y==r) {ins(op[now],tot,0);return ;}
    int mid=(l+r)/2;
    if(y<=mid) get_sub(now<<1,x,y,l,mid);
    else if(mid<x) get_sub((now<<1)|1,x,y,mid+1,r);
    else get_sub(now<<1,x,mid,l,mid),get_sub((now<<1)|1,mid+1,y,mid+1,r);
}

void Tp(){
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        if(!dis[i])dis[i]=1;
        if(!in[i]) f.push(i);
    }
    while(!f.empty()){
        int x=f.front();f.pop();
        for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
            int y=s[i].y;
            in[y]--;
            dis[y]=max(dis[y],dis[x]+s[i].c);
            if(a[y] && dis[y]>a[y]) {
                printf("NIE");exit(0);
            }
            if(!in[y]) f.push(y);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d %d %d",&n,&t,&m);tot=n;
    int l,r,k,x,last;
    for(int i=1;i<=t;i++) scanf("%d %d",&x,&last),dis[x]=a[x]=last;
    build_tr(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d %d %d",&l,&r,&k);
        last=l-1;tot++;
        for(int j=1;j<=k;j++){
            scanf("%d",&x);
            ins(tot,x,1);
            if(last+1<=x-1) get_sub(1,last+1,x-1,1,n);
            last=x;
        }
        if(last+1<=r) get_sub(1,last+1,r,1,n);
    }
    Tp();
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        if(in[i] ||dis[i]>1e9){
            printf("NIE");
            return 0;
        }
    printf("TAK\n");
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
}

学习笔记第二十六节：线段树优化建图

正题

想法一

优化

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