德·梅齐里亚克的砝码问题
题设：
一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块。后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。
问：这4块砝码碎片各重多少？
解：
已知 4 个整数和为 40，且都不小于 1。可推出都不大于 37。
因为 37 + 1 + 1 + 1 = 40，这是最大的情形。
考虑到砝码可以放置在天平的任意一端，假设天平左端放置重物，则其重量应为天平右端砝码重量减去天平左端砝码重量。
这样，4 个砝码通过加减的排列组合获得它们可以称量的重量。
组合情形
- 单一数字：4 种情形
- 两数相加：6 种情形
- 三数相加：4 种情形
- 四数相加：1 种情形
- 两数相减：6 种情形
- （两数和）与（一数）之差：12 种情形
- （两数和）与（两数和）之差：3 种情形
- （三数和）与（一数）之差：4 种情形
从上表可见，8 种组合方式，共计有 40 种情形。而题设要求能够称量 1 至 40 磅之间的任意整数质量，即 40 个整数。由于上表已经穷举了所有的情形，因此，上表所穷举的 40 种情形就必须对应 1 至 40 之间的不同数字，即两两不等。
要有 1
如果要得到 39，则必须有 1 。
在 8 种组合中，除了四数相加，最大的情形一定是三数相加。而如果 4 个数字中没有 1，则任意三数相加都不可能得到 39 。
因此，有 1 。
没有 2
如果有2，则有 2 - 1 = 1 。
这个两数之差的情形，与单一数字 1 的情形得到了相等的数字，前文已经论证了这是不可以的。
因此，没有 2 。
为了方便讨论，设 4 个数字由小到大分别为 a1，a2，a3，a4 。已得出 a1 = 1 。
有 3
由 a2 + a3 + a4 = 39，a2 + a3 + a4 - a1 = 38，接下来要凑出 37 。
在 40 种加减组合情形中，比（a2 + a3 + a4 - a1）小的最大组合是（a1 + a3 + a4），由此可得 a2 = 3，a3 + a4 = 36 。
剩余数字
已经得出：
1 = 1
2 = 3 - 1
3 = 3
4 = 3 + 1
可以发现 a3 > 8，否则就会发生数值的重复。
a3 + a4 = 36
a3 + a4 - a1 = 35
a3 + a4 + a1 - a2 = 34
a3 + a4 - a2 = 33
a3 + a4 - a1 - a2 = 32
接下来是
a4 + a1 + a2 = 31，得出 a4 = 27，a3 = 9
综上，a1 = 1 =，a2 = 3，a3 = 9，a4 = 27，经检验，满足题设。
写在最后
实际上在读完题的时候，或是发现 40 种组合的时候，就应该反应过来与 3 进制有关。上文的解答过程也是在第一时间想到答案之后补充的过程，并不美观，也不简洁，唯一的优点也就是比较容易理解了。
等以后想到更漂亮的解答过程再补充吧。