神经网络和BP算法推导

我的原文：www.hijerry.cn/p/53364.htm…

感知机

感知机（perceptron）于1957年由Rosenblatt提出，是一种二分类线性模型。感知机以样本特征向量作为输入，输出为预测类别，取正、负两类。感知机最终学习到的是将输入空间（特征空间）划分为正、负两类的分离超平面，属于判别模型。为此，使用误分类作为损失函数，利用梯度下降优化该函数，可求得感知机模型。感知机是神经网络与支持向量机的基础。

单层感知机

第 ${i}$ 个样本的预测值 $\hat{y_i} = f(\vec{w} \cdot \vec{x_i} + b)$ ，其中 $f(\cdot)$ 称为激活函数， $f(\cdot) \in \{-1, 1\}$ ，损失为 $L_i=\frac{1}{2}(\hat{y_i}-y_i)^2$ 。单层感知机的目的就是习得合适的 $\vec{w}$ 与 $b$ ，使得所有样本的损失之和 $\sum_{x_i \in X} L_i$ 最小。

如果我们令 $z = \vec{w} \cdot \vec{x_i} + b$ 即感知机的输入。那么当 $z < 0$ 时， $f(z) = -1$ ；当 $z > 0$ 时， $f(z)=1$ 。因为 $z$ 是 $x$ 线性组合，所以最终得到的是一个超平面 $\vec{w} \cdot \vec{x}+b=0$ ，超平面将输入样本分为了 $y_i=1$ 和 $y_i=$ -1两类。

当输入 $x=(x_1, x_2)$ 是二维向量时，用红点表示 $+1$ 的数据，黑点表示 $-1$ 的数据，最终习得的是一条直线，将两个数据分离开，如下图所示。

因为单层感知机最终习得是超平面，所以只能用于解决线性可分问题。对于下面这样的数据，单层感知机无能为力。

多层感知机

多层感知机也叫MLP，可以看做是一个有向图。MLP由多层节点组成，每一层全连接到下一层，除输入节点外，每个节点都是一个带有非线性激活函数的神经元（unit）。多层感知机可用于解决线性不可分问题。

因为神经网络的和多层感知器是一个意思，所以下面直接对单层前馈神经网络进行详细说明。

单层前馈神经网络

下图是一个输入层节点数为3，隐藏层节点数为2，输出层节点数为2的前馈神经网络，该网络可用于解决二分类问题。

单层前馈神经网络本质上是一个多层感知机，有以下几个特点：

全连接。每一层的节点都与右边层的所有节点通过权重连接。
隐藏层只有一层。所以称之为单层。
数据单向流动。每一层节点只作用于其之后的层，所以叫作前馈。
本质是数学函数。神经网络可以明确的用数学语言表达。

神经元

我们拿出隐藏层的一个神经元（unit）放大来看：

神经元的任务就是接受输入，产生输出。

z 表示神经元的输入，a 是神经元的输出。

输入怎么得来？就是上一层的神经元输出与权重 的乘积之和再加上偏置。

输出怎么得来？把输入值带入激活函数 得到。

写成数学表达式就是：

$z^{(2)}_1 = w^{(1)}_{11}a^{(1)}_1+w^{(1)}_{21}a^{(1)}_2+w^{(1)}_{31}a^{(1)}_3+b^{(1)}_1$

$a^{(2)}_1=f(z^{(2)}_1)$

$f(\cdot)$ 是激活函数，常见的有sigmoid、tanh、ReLU。

Sigmoid函数

Sigmoid的表达式为 $S(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ ，定义域为 $R$ ，值域为 $(0, 1)$

在 $x=0$ 处，函数值为 $\frac{1}{2}$ ，其函数图像如下：

sigmoid函数有许多优美的性质，如：

是 $e^x$ 的复合函数， $e$ 又名自然常数
1阶导函数为 $S'(x)=S(x)(1-S(x))$ 。即函数在某一点的导数可由函数在这一点的函数值求得
曲线光滑，定义域内处处可导，且可以无限次求导
可以把任意输入压缩到 $(0, 1)$ 范围内

在反向传播算法（BP算法）中，性质2、3起到了极大的作用，性质4起到了防溢出的作用。

前向传播原理

现考虑一个样本 $(x, y)$ ，其中 $x \in R^3$ 是输入数据， $y \in \{[0,1],[1,0]\}$ 是实际值。我们现在来手动计算 $x$ 预测值 $\hat{y}$ 。预测值 $\hat{y}$ 的计算过程是从输入层开始从左往右计算的，所以这个过程也叫作前向传播。

下图表示，为了得到 $a^{(3)}_1$ ，有哪些神经元被激活了。

为了方便表述，用 $w^{(l)}_{ij}$ 表示第 $l$ 层的第 $i$ 个神经元与第 $l+1$ 层的第 $j$ 个神经元相连的权重，用 $b^{(l)}_j$ 表示第 $l+1$ 层第 $j$ 个神经元的偏置值。

输入层

注意。输入层没有激活函数，所以：

$[a^{(1)}_1, a^{(1)}_2,a^{(1)}_3]=x$

隐藏层

$z^{(2)}_1 = w^{(1)}_{11}a^{(1)}_1+w^{(1)}_{21}a^{(1)}_2+w^{(1)}_{31}a^{(1)}_3+b^{(1)}_1$

$z^{(2)}_2 = w^{(1)}_{12}a^{(1)}_1+w^{(1)}_{22}a^{(1)}_2+w^{(1)}_{32}a^{(1)}_3+b^{(1)}_2$

$a^{(2)}_1=sigmoid(z^{(2)}_1)$

$a^{(2)}_2=sigmoid(z^{(2)}_2)$

输出层

如果我们把 $a^{(3)}_1$ 作为类别为 $0$ 的概率，将 $a^{(3)}_2$ 作为类别为1的概率，则样本 $x_i$ 的预测值可以写成 $\hat{y_i}=\max \{a^{(3)}_1, a^{(3)}_2\}$ ，所以为了让 $a^{(3)}_1 + a^{(3)}_2 = 1$ ，选用 $softmax$ 作为输出层的激活函数。

$z^{(3)}_1=w^{(2)}_{11}a^{(2)}_1+w^{(2)}_{21}a^{(2)}_2+b^{(2)}_1$

$z^{(3)}_2=w^{(2)}_{12}a^{(2)}_1+w^{(2)}_{22}a^{(2)}_2+b^{(2)}_2$

令 $g(z^{(k)})=\sum exp({z^{(k)}_i})$ ， $exp(x)=e^x$

$a^{(3)}_1=softmax(z^{(3)}_1,z^{(3)})=\frac{exp({z^{(3)}_1)}}{g(z^{(3)})}$

$a^{(3)}_2=softmax(z^{(3)}_2,z^{(3)})=\frac{exp({z^{(3)}_2})}{g(z^{(3)})}$

我们令 $\hat{y}_1=a^{(3)}_1$ ， $\hat{y}_2=a^{(3)}_2$ ，那么 $\hat{y}=[\hat{y}_1, \hat{y}_2]$ ，同理设 $y=[y_1, y_2]$

神经网络可以明确的用数学语言表达，它的函数表达式，可以明确的写出来
复制代码

如果真的将这个数学表达式写出来，那么这个数学函数 $network(\cdot)$ 是一个包含 $(3+1) \times 2 + (2+1) \times 2=14$ 个参数的函数，函数输入 $x$ 可得到预测值 $\hat{y}$ ，这个表达式会非常长。

反向传播原理

我们现在来优化网络中这10个权重参数和4个偏置参数。

定义输出层的节点 $i$ 的误差，可用的损失函数有：

均方误差： $E = \sum_{j=1}^2\frac{1}{2} (\hat{y}_j-y_j)^2$
交叉熵损失： $CE=CE(\hat{y},y)=-\sum_{j=1}^{2}y_{j}ln\hat{y}_j$

使用梯度下降算法来优化损失函数，则需要求出损失函数对所有参数的导数，这个过程在计算上是从输出层开始从右往左计算的，因为与计算预测值 $\hat{y_i}$ 的过程恰巧相反，所以也叫作反向传播。

权重的导数

以计算权重 $w^{(2)}_{21}$ 的偏导数为例，根据链式法则不难得到：

$\frac{\partial CE}{\partial w^{(2)}_{21}} = \frac{\partial CE}{\partial \hat{y_1}} \frac{\partial \hat{y}_1}{\partial z^{(3)}_1} \frac{\partial z^{(3)}_1}{\partial w^{(2)}_{21}}$

∵ $CE=-\sum_{j=1}^{2}y_jln\hat{y}_j=-(y_1ln\hat{y}_1+y_2ln\hat{y}_2)$ ，又 $y_1+y_2=1$ ， $\hat{y}_1+\hat{y}_2=1$

∴ $CE =-(y_1ln\hat{y}_1+(1-y_1)ln(1-\hat{y}_1))$ （注：这是二分类问题特有的交叉熵表示方式）

∴ $\frac{\partial CE}{\partial \hat{y}_1}=-(\frac{y_1}{\hat{y}_1} - \frac{1-y_1}{1-\hat{y_1}})=\frac{\hat{y}_1-y_1}{\hat{y}_1(1-\hat{y}_1)}$

又 $\frac{\partial \hat{y}_1}{\partial z^{(3)}_1}=\frac{exp(z^{(3)}_1)exp(z^{(3)}_2)}{(exp(z^{(3)}_1)+exp(z^{(3)}_2))^2}=\hat{y}_1\hat{y}_2=\hat{y_1}(1-\hat{y}_1)$

且 $\frac{\partial z^{(3)}_1}{\partial w^{(2)}_{21}}=a^{(2)}_2$

故原偏导数可写成：

$\frac{\partial CE}{\partial w^{(2)}_{11}}=\frac{\hat{y}_1-y_1}{\hat{y}_1(1-\hat{y}_1)} \cdot \hat{y_1}(1-\hat{y}_1) \cdot a^{(2)}_1=(\hat{y}_1-y_1) \cdot a^{(2)}_2$

更通用化的表达，如何计算 $w^{(2)}_{ij}$ ？依葫芦画瓢得：

$\frac{\partial CE}{\partial w^{(2)}_{ij}} = \frac{\partial CE}{\partial \hat{y_i}} \frac{\partial \hat{y}_i}{\partial z^{(3)}_i} \frac{\partial z^{(3)}_i}{\partial w^{(2)}_{ij}}=(\hat{y}_j-y_j) \cdot a^{(2)}_i$

令 $\delta^{(3)}_j=\hat{y}_j-y_j$ 表示输出层节点 $j$ 的误差值

则上式可写成：

$\frac{\partial CE}{\partial w^{(2)}_{ij}} =\delta^{(3)}_j \cdot a^{(2)}_i$

如何理解？用 $i$ 表示为隐藏层节点的位置， $j$ 表示为输出层节点的位置，那么权重 $w^{(2)}_{ij}$ 的导数为该权重前一层第i个节点的激活值与后一层第j个节点的误差值的乘积。

下图是反向传播的示意图，损失函数产生的误差顺着红线一直往左边传，每经过一条红线就求一次导数，直到要求的权重也覆盖在红线为止。下图有三条红线，也就是损失函数 $CE$ 对 $w^{(2)}_{21}$ 的导数需要用三个偏导数乘积形成的链式求导才能得到，且最后一个偏导数值为 $a^{(2)}_i$ 。

如何计算 $w^{(1)}_{ij}$ 呢？继续使用链式法则 + 依葫芦画瓢可得：

$\frac{\partial CE}{\partial w^{(1)}_{ij}} =\sum_{k=1}^2((\hat{y}_k-y_k)w^{(2)}_{jk}) \cdot a^{(2)}_j(1-a^{(2)}_j) \cdot a^{(1)}_i$

令 $\delta^{(2)}_j = \sum_{k=1}^2(\hat{y}_k-y_k)w^{(2)}_{jk} \cdot a^{(2)}_j(1-a^{(2)}_j)$ 为 $a^{(2)}_j$ 的误差值 ，那么上式可以写成：

$\frac{\partial CE}{\partial w^{(1)}_{ij}} =\delta^{(2)}_j \cdot a^{(1)}_i$

观察可以发现：

$\delta^{(2)}_j=\sum_{k=1}^2(\delta^{(3)}_jw^{(2)}_{jk}) \cdot a^{(2)}_j(1-a^{(2)}_j)$

如何理解？如果用 $i$ 表示输入层节点位置， $j$ 表示隐藏层节点位置，那么权重 $w^{(1)}_{ij}$ 的导数为 该权重前一层第i个节点的激活值与后一层第j个节点的误差值的乘积 。每个节点的误差值等于连接权重与权重另一端所连节点的误差值的乘积之和与本节点激活值的导数的乘积。

详细的推导过程读者可以自己琢磨一下，这里有个关键点需要注意：

因为 $y_1+y_2=1$ ， $\hat{y}_1+\hat{y}_2=1$ ，所以 $CE =-(y_2ln\hat{y}_2+(1-y_2)ln(1-\hat{y}_2))$

偏置的导数

如何求 $b^{(2)}_j$ 的导数？根据之前的逻辑推导即可：

$\frac{\partial CE}{\partial b^{(2)}_j} = \frac{\partial CE}{\partial \hat{y_i}} \frac{\partial \hat{y}_i}{\partial z^{(3)}_i} \frac{\partial z^{(3)}_i}{\partial b^{(2)}_j}=(\hat{y}_j-y_j) \cdot 1$

如何求 $b^{(1)}_j$ 的导数？链条太长，这里直接给出答案：

$\frac{\partial CE}{\partial b^{(1)}_j}=\sum_{k=1}^2((\hat{y}_k-y_k)w^{(2)}_{jk}) \cdot a^{(2)}_j(1-a^{(2)}_j) \cdot 1$

与权重导数不同的地方就是，在求导过程中的最后一项 $\frac{\partial z^{(l + 1)}_i}{\partial b^{(l)}_j} =1$ 。

如果加入偏置单元，也可以理解为偏置单元 $a^{(l)}_0$ 的值为1，如下图所示：

正则化项

正则化（regularation）是防止机器学习过拟合的一种手段。一种常见的手段是通过将权重的平方之和加入到损失函数来实现。那么损失函数变为：

$CE=-\sum_{j=1}^{2}y_jln\hat{y}_j+\frac{\lambda}{2}\sum_l\sum_i\sum_j(w^{(l)}_{ij})^2$

所有权重、偏置之和称为 正则项 ， $\lambda$ 是 正则项系数，也叫 惩罚系数 。

加入正则化项后， $w$ 的导数要多算一个平方项的导数，以 $w^{(2)}_{ij}$ 为例

$grad(w^{(2)}_{ij})=(\hat{y}_j-y_j) \cdot a^{(2)}_i+\lambda w^{(2)}_{ij}$

向量化

我们假设输入值 $x$ 、实际值 $y$ 都是列向量。

观察 $z^{(2)}_1$ 、 $z^{(2)}_2$ 的表达式，进而发现可以用矩阵形式书写为：

$\left[\begin{matrix} w^{(1)}_{11} & w^{(1)}_{12} \\ w^{(1)}_{21} & w^{(1)}_{22} \\ w^{(1)}_{31} & w^{(1)}_{32} \end{matrix} \right]^T \left[ \begin{matrix} a^{(1)}_1 \\ a^{(1)}_2 \\ a^{(1)}_3 \end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix} b^{(1)}_1 \\ b^{(1)}_2 \end{matrix} \right]= \left[\begin{matrix} z^{(2)}_1 \\ z^{(2)}_2 \end{matrix} \right]$

不失一般性，设第 $l$ 层的前向传播： $z^{(l+1)}=(w^{(l)})^Ta^{(l)}+b^{(l)}$ ，其中 $a^{(l)}$ 、 $z^{(l+1)}$ 、 $b^{(l)}$ 均为列向量， $W^{(l)}$ 为矩阵

激活值 $a^{(l)}=sigmoid(z^{(l)})$ ，所以激活值也是列向量。

损失函数向量化为：

$CE=-\left[\begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{matrix} \right]^T ln\left[\begin{matrix} \hat{y}_1 \\ \hat{y}_2 \end{matrix} \right] + \lambda(\sum_l\sum_i\sum_jw^{(l)}_{ij}+\sum_l\sum_ib^{(l)}_i)$

$=-y^Tln\hat{y}+\frac{\lambda}{2}\sum_{l=1}^2 sum(w^{(l)}*w^{(l)})$

$sum(\cdot)$ 表示把矩阵 $\cdot$ 的所有元素之和

* 表示求哈达马积，即两个矩阵对应位置的元素的乘积所形成的一个新矩阵

输出层误差值向量化：

$\delta^{(3)}= \left[\begin{matrix} \delta^{(3)}_1 \\ \delta^{(3)}_2 \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} \hat{y}_1-y_1 \\ \hat{y}_2-y_2\end{matrix} \right] =\hat{y}-y$

隐藏层误差向量化：

$\delta^{(2)}= \left[\begin{matrix} (\hat{y}_1-y_1)w^{(2)}_{11}+ (\hat{y}_2-y_2)w^{(2)}_{12} \\ (\hat{y}_1-y_1)w^{(2)}_{21}+ (\hat{y}_2-y_2)w^{(2)}_{22} \end{matrix} \right] * a^{(2)}_j(1-a^{(2)}_j)$

$=\left[\begin{matrix} w^{(2)}_{11} & w^{(2)}_{12} \\ w^{(2)}_{21} & w^{(2)}_{22} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} \hat{y}_1-y_1 \\ \hat{y}_2-y_2\end{matrix} \right] * a^{(2)}_j(1-a^{(2)}_j)$

$=w^{(2)}(\hat{y}-y) * a^{(2)}_j(1-a^{(2)}_j)$

参数 $w^{(2)}$ 导数向量化：

$grad(w^{(2)})= grad(\left[\begin{matrix} w^{(2)}_{11} & w^{(2)}_{12} \\ w^{(2)}_{21} & w^{(2)}_{22} \end{matrix} \right]) = \left[\begin{matrix} \delta^{(3)}_1a^{(2)}_1 & \delta^{(3)}_2a^{(2)}_1 \\ \delta^{(3)}_1a^{(2)}_2 & \delta^{(3)}_2a^{(2)}_2 \end{matrix} \right]$

$=\left[\begin{matrix} a^{(2)}_1 \\ a^{(2)}_2 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} \delta^{(3)}_1 \\ \delta^{(3)}_2 \end{matrix} \right]^T =a^{(2)}(\delta^{(3)})^T$

不失一般性，有： $grad(w^{(l)})=a^{(l)}(\delta^{(l+1)})^T$

小批量梯度下降

上述所有过程都是假设只有一个样本。

当参与计算的样本数量大于1时：

单个损失函数 => 所有样本损失值求平均
单个样本的输出层误差 => 所有样本输出层误差求平均

你不用写一个for循环来计算上述值，使用矩阵乘法会更为方便，这里留给读者思考。

实现

github：github.com/JerryCheese…

ann.py 是面向过程版本实现，且隐藏层数只能为1。

NN.py 是面向对象版本实现，支持多层隐藏层。