2144: 跳跳棋
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题目描述
跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。我们用跳跳棋来做一
个简单的游戏：棋盘上有3颗棋子，分别在a，b，c这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动
成x，y，z。（棋子是没有区别的）跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两
颗棋子距离不变。一次只允许跳过1颗棋子。 写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出
最少需要的跳动次数。
输入
第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置a b c。（互不相同）第二行包含三个整数，表示目标位置x y z。
（互不相同）
输出
如果无解，输出一行NO。如果可以到达，第一行输出YES，第二行输出最少步数。
样例输入
1 2 3
0 3 5
样例输出
YES
2
【范围】
100% 绝对值不超过10^9
题解
看起来没什么想法。
暴瘦显然没有希望。
我们理一理过程，看看能发现什么。
拿到一个三元组（a,b,c），其中 a＜b＜c。我们总共有 4 种跳法。
a 向右跳，b 向左或右跳，c 向左跳。
举过几个例子会发现，其中 a 向右跳和 c 向左跳不能同时满足。（WHY1）
so，没感觉到有点东西吗？
如果我们把三元组看成节点，b 跳动后得到的三元组为当前节点的子节点，a 或 c 跳动得到的三元组设为父节点，那么这就是一棵二叉树！
一直跳到最后一定存在一个状态是 b - a = c - b，此时这个节点是根节点。
由此，这道题转化成了图论的模型。
树上两点只可能有一条连通路径，所以，我们只需要想办法来求这个路径就好了。
还记得LCA算法吗？
（不过这里恐怕不能直接套用，因为我们不能确定图的规模）
首先我们需要知道无解的情况是怎么回事？如何连跳？如何把两点跳到同一深度？
由于它们两个点不一定在通一棵树上，导致可能出现无解情况。（也可以证明只有这个可能）
如何连跳？我们依然需要观察一下，举几个例子。
如果 a=
， b=
， c=
那么此时我们一步一步跳就会耗费大量的时间。
| 次数 | a | b | c |
|---|---|---|---|
| 0 | 10 | 15 | N |
| 1 | 15 | 20 | N |
| 2 | 20 | 25 | N |
| 3 | 20 | 30 | N |
| 4 | 25 | 35 | N |
| x | 10+5x | 15+5x | N |
一直到 b c 之间的距离小于等于 5，就是
，跳的步数为
有点像辗转相除？那么时间应该是
。
好了，我们已经可以快速跳动了，那么判断深度就非常容易。只需一直跳到根节点，看看跳动的次数就好了。
同时如果最后跳到的根节点不同，说明不在通一棵树上。
还剩之后一件事。究竟跳了几步相遇？我们可以继续借鉴 LCA 的想法，利用倍增来求（也可以用二分）。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
LL a,b,c,x,y,z,a1,b1,c1,x1,y1,z1,ans;
void jump(LL&x,LL&y,LL&z,LL tim)
{
LL A,B,stp;
while (y-x!=z-y&&tim)
{
A=y-x,B=z-y;
if (A<B)
{
stp=(B+A-1)/A-1;
stp=min(tim,stp);
x+=A*stp;
y+=A*stp;
tim-=stp;
}else
{
stp=(A+B-1)/B-1;
stp=min(tim,stp);
z-=B*stp;
y-=B*stp;
tim-=stp;
}
}
}
int getstp(LL &x,LL &y,LL &z)
{
LL A,B,stp,ret=0;
while (y-x!=z-y)
{
A=y-x,B=z-y;
if (A<B)
{
stp=(B+A-1)/A-1;
x+=A*stp;
y+=A*stp;
ret+=stp;
}else
{
stp=(A+B-1)/B-1;
z-=B*stp;
y-=B*stp;
ret+=stp;
}
}
return ret;
}
bool check(LL tim)
{
x1=x;y1=y;z1=z;a1=a;b1=b;c1=c;
jump(a1,b1,c1,tim);
jump(x1,y1,z1,tim);
return x1==a1&&y1==b1&&z1==c1;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&x1,&y1,&z1);
scanf("%lld%lld%lld",&a1,&b1,&c1);
if (x1>y1) swap(x1,y1);
if (y1>z1) swap(y1,z1);
if (x1>y1) swap(x1,y1);
if (a1>b1) swap(a1,b1);
if (b1>c1) swap(b1,c1);
if (a1>b1) swap(a1,b1);
x=x1;y=y1;z=z1;a=a1;b=b1;c=c1;
int L1=getstp(x1,y1,z1),L2=getstp(a1,b1,c1);
if (x1!=a1||y1!=b1||z1!=c1) {printf("NO\n");return 0;}
printf("YES\n");
ans=0;
if (L1>L2) ans=L1-L2,jump(x,y,z,ans);else
if (L1<L2) ans=L2-L1,jump(a,b,c,ans);
LL Le=0,Ri=min(L1,L2)+1,mid;
while (Le<=Ri)
{
mid=(Ri-Le>>1)+Le;
if (check(mid)) Ri=mid-1;
else Le=mid+1;
}
printf("%lld\n",ans+Le*2);
return 0;
}
因为我们跳动的棋子只能越过一个棋子，也就是它的对称轴（上的点），那么对于（a,b,c）只有 b - a＞c - a 时，a 才能跳动。 ↩︎