动态规划浅析篇

先上题目：

小时候我们都跳过方格游戏吧！现在规定一次只能向前跳1格或2格，不能后退，要想正好跳到第10格，有多少种跳法？

一、暴力枚举

程序我就不写了，因为嵌套循环太多，时间复杂度高。

二、我们假设跳到n格有F(n)种可能；

我们来思考，我跳一次有几种可能，很简单，跳一次我有2种可能，1格或者2格；同理，我最后一次跳到第n格有几种可能？当然2种，比如我跳一次到第5个格的可能有从4格跳到5格或从3个跳到5格2种可能，而总的方法就等于跳到第4格和跳到第3格方法的总和。

其实上面是一种递归的思想；F(10) = F(9) + F(8) F(9) = F(8) + F(7) ...........

即F(n) = F(n-1) + F(n-2)

所以我们可以用递归实现：

int GetNum(int n)
{
    if(n==1) return 1；
    if(n==2) return 2;
    return (GetNum(n-1) + GetNum(n-2));
}

三、第二方法中的时间复杂度为O(2^n)，仔细分析复杂度高是因为在递归时重复了一些值的运算，导致时间复杂度的增加；所以为了减少重复计算，我们建立一个备忘录来记录已经计算过的值,则时间复杂度变为O(n),但空间复杂度为O(n);

int GetNum(int n)
{
    if(n==1) return 1；
    if(n==2) return 2;
    if(map.text(n))
    {
        return map.get(n);
    }else 
    {
        int Value=(GetNum(n-1) + GetNum(n-2));
        map.put(n,Value);
        return Value
     }
}

四、那有没有更好的办法，让空间复杂度更低，甚至为O(1)呢？哈哈下面就是今天的重点，动态规划！

我们不妨把思路逆过来！这样我们走到第n格就只依赖于n-1和n-2格的方法，所以我们只要保持前2个状态的方法就可以迭代出当前的方法。所以我们需要建立2个临时变量；这样增加2个变量反而空间复杂度变为O(1)了。

程序如下：

int GetNum(int n)
{
   if(n==1) return 1;
   if(n==2) return 2;
   int a =1,b=2,temp=0,i;
  
   for(i = 3;i<=n; i++)
   {
      temp = a+b;
      a=b;
      b=temp;
    }
}

这是对动态规划最基本的了解！要想真正测试自己懂了没，要看下一篇动态规划进阶篇，那道题会了才是真会了！

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