2018.10.30【校内模拟】有环无向图（最短路）（化边为点）

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传送门

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解析：

首先，这道题没有负边权，写 $SPFA$的不是想乱搞过题就是压根不会 $Dijkstra$。然而真的有人乱搞过了题。。。然后在 $OJ$上又被新数据卡 $T$了。

思路：

直接建边显然是 $O(\sum deg_i^2)$，跑最短路就是 $O(m^2logm)$，肯定会gg。

考虑优化建图。
首先对于原题中路径的定义，考虑重新处理。将每个点的贡献变成进入它的边的权值+在入边意义下出边的贡献。

所以这样可以化边为点。

将每个点所有出边取出来，排个序，大的边向小的边连权值为 $0$的边，表示在入边是大边的情况下，出边的贡献是0。小的依次向它的后继连权值为权值之差的边，表示如果走这条边出去，新增的贡献是差量。
然后所有边的反向边向它连权值为原权值的边，表示进入这个点之后要出去需要先计算它作为下一个点入边的代价。

这样建出来的边的规模就是 $O(m)$，最多不会超过 $6m$条边。

之后直接 $Dijkstra$跑一下最短路，在终点的所有出边的反向边处考虑新的权值

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代码（截止博客完工时，这份代码全OJ时空都是rank1，空间只有rank2的一半）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const

inline int getint(){
	re int num;
	re char c;
	while(!isdigit(c=gc()));num=c^48;
	while(isdigit(c=gc()))num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48);
	return num;
}

cs int N=200005;
int last[N],nxt[N<<1],to[N<<1],ecnt=1;
int w[N<<1];
inline void addedge(int u,int v,int val){
	nxt[++ecnt]=last[u],last[u]=ecnt,to[ecnt]=v,w[ecnt]=val;
	nxt[++ecnt]=last[v],last[v]=ecnt,to[ecnt]=u,w[ecnt]=val;
}

namespace NEWGRAPH{
	int last[N<<1],nxt[N*6],to[N*6],ecnt;
	int w[N*6];
	inline void addedge(int u,int v,int val){
		nxt[++ecnt]=last[u],last[u]=ecnt,to[ecnt]=v,w[ecnt]=val;
	}
	ll dist[N<<1];
	bool vis[N<<1];
	priority_queue<pair<ll,int> ,vector<pair<ll,int> > ,greater<pair<ll,int> > > q;
	inline void Dijkstra(){
		memset(dist,0x3f,sizeof dist);
		for(int re e=::last[1],v=::to[e];e;v=::to[e=::nxt[e]]){
			dist[e]=::w[e];
			q.push(make_pair(dist[e],e));
		}
		while(!q.empty()){
			int u=q.top().second;q.pop();
			if(vis[u])continue;
			vis[u]=true;
			for(int re e=last[u],v=to[e];e;v=to[e=nxt[e]]){
				if(dist[v]>dist[u]+w[e]){
					dist[v]=dist[u]+w[e];
					q.push(make_pair(dist[v],v));
				}
			}
		}
	}
}

int n,m;
signed main(){
	n=getint();
	m=getint();
	for(int re i=1;i<=m;++i){
		int u=getint(),v=getint(),val=getint();
		addedge(u,v,val);
	}
	for(int re u=1;u<=n;++u){
		vector<pair<int,int> > q;
		for(int re e=last[u],v=to[e];e;v=to[e=nxt[e]])
		q.push_back(make_pair(w[e],e));
		
		sort(q.begin(),q.end());
		for(int re i=0;i<q.size();++i){
			if(i)NEWGRAPH::addedge(q[i].second,q[i-1].second,0);
			if(i+1<q.size())NEWGRAPH::addedge(q[i].second,q[i+1].second,q[i+1].first-q[i].first);
			NEWGRAPH::addedge(q[i].second^1,q[i].second,q[i].first);
		}
	}
	NEWGRAPH::Dijkstra();
	ll SP=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
	for(int re e=last[n];e;e=nxt[e]){
		SP=min(SP,NEWGRAPH::dist[e^1]+w[e]);
	}
	cout<<SP;
	return 0;
}