趣学算法-贪心：最小生成树

校园网是为学校师生提供资源共享、信息交流和协同工作的计算机网络。校园网是一个 宽带、具有交互功能和专业性很强的局域网络。如果一所学校包括多个学院及部门，也可以 形成多个局域网络，并通过有线或无线方式连接起来。原来的网络系统只局限于以学院、图书馆为单位的局域网，不能形成集中管理以及各种资源的共享，个别学院还远离大学本部， 这些情况严重地阻碍了整个学校的网络化需求。现在需要设计网络电缆布线，将各个单位的 局域网络连通起来，如何设计能够使费用最少呢？

贪心策略：选取连接U和V-U的所有边的最短边。 

 

第一步：对closset、s、lowcost，c数组初始化

closest[j]:表示V-U中的顶点j到集合U中的最邻近点；

lowcost[j]:表示V-U中的顶点j到集合U中的最邻近点的边值，即边（j, closest[j]）的权值

 s[i]:s[i]==true，表示顶点i在U集合中。

代码示例：

对c[i][j]进行初始化（c[i][j]表示连接顶点i和j的边的权值）

	cout << "输入结点数n和边数m: " << endl;
	cin >> n >> m;
	
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if(i == j) c[i][j] = 0;
			else c[i][j] = INF;
		}
	}
	
	cout << "输入结点数u、v和边值w: " << endl;
	for(int i = 1; i <= m; ++ i)
	{
		cin >> u >> v >> w;
		c[u][v] = c[v][u] = w; 
	}
	

初始化其余三个数组。

    s[u0] = true;//初始时，集合中只有U一个元素，即顶点u0；
	int i;
	int j;
	
	//初始化 
	for(i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if(i != u0)
		{
			lowcost[i] = c[u0][i];
			closest[i] = u0;
			s[i] = false;
		}
		else
			lowcost[i] = 0;
	} 
	

 第二步：寻找lowcost中的最小值所在顶点t

int temp = INF;
		int t = u0;
		//寻找距离集合U最近的顶点t 
		for(j = 1; j <= n; j++)
		{
			if(lowcost[j] < temp && !s[j])
			{
				temp = lowcost[j];
				t = j;
			} 
		}
		if(t == u0)//没找到t 
			break;
		s[t] = true;

第三步：更新数组closet和lowcost

for(j = 1; j <= n; j++)
		{
			if((!s[j]) && c[t][j] < lowcost[j])
			{
				lowcost[j] = c[t][j];
				closest[j] = t;
			}
		} 

 完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int INF = 0x3fffffff;
const int N = 100;
bool s[N];
int closest[N];
int lowcost[N];
void Prim(int n, int u0, int c[N][N])
{
	//顶点个数n，开始顶点u0，带权邻接矩阵c[n][n]
	//如果s[i] = true,说明顶点i已加入最小生成树的顶点集合U；否则顶点i属于集合V-U
	//将最后的相关最小权值传递到数组lowcost
	s[u0] = true;//初始时，集合中只有U一个元素，即顶点u0；
	int i;
	int j;
	
	//初始化 
	for(i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if(i != u0)
		{
			lowcost[i] = c[u0][i];
			closest[i] = u0;
			s[i] = false;
		}
		else
			lowcost[i] = 0;
	} 
	
	//寻找距离集合U最近的顶点t，并更新lowcost和closest（先找最小值，再更新两个数组） 
	for(i = 0; i <= n; i++)
	{
		int temp = INF;
		int t = u0;
		//寻找距离集合U最近的顶点t 
		for(j = 1; j <= n; j++)
		{
			if(lowcost[j] < temp && !s[j])
			{
				temp = lowcost[j];
				t = j;
			} 
		}
		if(t == u0)//没找到t 
			break;
		s[t] = true;
		
		//更新lowcost和closest
		for(j = 1; j <= n; j++)
		{
			if((!s[j]) && c[t][j] < lowcost[j])
			{
				lowcost[j] = c[t][j];
				closest[j] = t;
			}
		} 
	} 
}

int main()
{
	int n, c[N][N], m, u, v, w;
	int u0;
	cout << "输入结点数n和边数m: " << endl;
	cin >> n >> m;
	int sumcost = 0;
	
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if(i == j) c[i][j] = 0;
			else c[i][j] = INF;
		}
	}
	
	cout << "输入结点数u、v和边值w: " << endl;
	for(int i = 1; i <= m; ++ i)
	{
		cin >> u >> v >> w;
		c[u][v] = c[v][u] = w; 
	}
	
	cout << "输入任一结点u0： " << endl;
	cin >> u0;
	
	//计算最后的lowcost的总和，即为最后要求的最小费用之和
	Prim(n,u0,c);
	
	cout << "数组lowcost的内容为： " << endl;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		cout << lowcost[i] << " ";
	cout << endl;
	
	for(int i = 0; i <= n; ++i)
	{
		sumcost += lowcost[i]; 
	} 
	cout << "最小费用是：" << sumcost << endl;
	return 0;
}