数据结构之并查集总结

数据结构并查集

并查集(Union-Find Set)：

一种用于管理分组的数据结构。它具备两个操作：(1)查询元素a和元素b是否为同一组 (2) 将元素a和b合并为同一组。

注意：并查集不能将在同一组的元素拆分为两组。

并查集的实现：

用树来实现。

使用树形结构来表示以后，每一组都对应一棵树，然而我们就可以将这个问题转化为树的问题了，我们看两个元素是否为一组我们只要看这两个元素的根是否一致。显然，使用树形结构将问题简单化了。合并时是我们只需要将一组的根与另一组的根相连即可。

并查集的核心在于，一棵树的所有节点根节点都为一个节点。使用Find函数查询时，也是查询到这个节点的根节点。

一行并查集：

int find(int x)
{
    return p[x]==x? x:find(p[x]); //x的父节点保存在p[x]中，如果没有父节点则p[x]=x。
}

实现：

int node[i]; //每个节点  
  
//初始化n个节点  
void Init(int n){  
    for(int i = 0; i < n; i++){  
        node[i] = i;  
    }  
}  
//查找当前元素所在树的根节点(代表元素)  
int find(int x){  
    if(x == node[x])  
        return x;  
    return find(node[x]);  
}  
//合并元素x， y所处的集合  
void Unite(int x, int y){  
    //查找到x，y的根节点  
    x = find(x);  
    y = find(y);  
    if(x == y)   
        return ;  
    //将x的根节点与y的根节点相连  
    node[x] = y;  
}  
//判断x，y是属于同一个集合  
bool same(int x, int y){  
    return find(x) == find(y)

并查集的路径压缩：

在特殊情况下，这棵树是一条长长的树链，设链的最后一个结点为x，则每次执行find(x)都会遍历整条链。效率十分的地下。改进方法很简单，只要把遍历过的结点都改成根的子结点，后面的查询就会变的快很多。

并查集的复杂度

加入这两个优化之后，并查集的效率就非常高。对n个元素的并查集操作一次的复杂度是： O(α(n))。这里，α(n)是阿克曼(Ackermann)函数的反函数。效率要高于O(log n)。

不过这里O(α(n))是平均复杂度。也就是说，多次操作之后平均复杂度为O(α(n))，换而言之，并不是每一次操作都满足O(α(n))。

路径压缩后的优化代码：

    int node[i]; //每个节点  
    int rank[i]; //树的高度  
      
    //初始化n个节点  
    void Init(int n){  
        for(int i = 0; i < n; i++){  
            node[i] = i;  
            rank[i] = 0;  
        }  
    }  
    //查找当前元素所在树的根节点(代表元素)  
    int find(int x){  
        if(x == node[x])  
            return x;  
        return node[x] = find(node[x]); //在第一次查找时，将节点直连到根节点  
    }  
    //合并元素x， y所处的集合  
    void Unite(int x, int y){  
        //查找到x，y的根节点  
        x = find(x);  
        y = find(y);  
        if(x == y)   
            return ;  
        //判断两棵树的高度，然后在决定谁为子树  
        if(rank[x] < rank[y]){  
            node[x] = y;  
        }else{  
            node[y] = x;  
            if(rank[x] == rank[y]) rank[x]++:  
        }  
    }  
    //判断x，y是属于同一个集合  
    bool same(int x, int y){  
        return find(x) == find(y);  
    }

实例分析：

题目来源（点击此处跳转题目源地址）

题目：部落

在一个社区里，每个人都有自己的小圈子，还可能同时属于很多不同的朋友圈。我们认为朋友的朋友都算在一个部落里，于是要请你统计一下，在一个给定社区中，到底有多少个互不相交的部落？并且检查任意两个人是否属于同一个部落。

输入格式：

输入在第一行给出一个正整数N（<= 10⁴），是已知小圈子的个数。随后N行，每行按下列格式给出一个小圈子里的人：

K P[1] P[2] ... P[K]

其中K是小圈子里的人数，P[i]（i=1, .., K）是小圈子里每个人的编号。这里所有人的编号从1开始连续编号，最大编号不会超过10⁴。

之后一行给出一个非负整数Q（<= 10⁴），是查询次数。随后Q行，每行给出一对被查询的人的编号。

输出格式：

首先在一行中输出这个社区的总人数、以及互不相交的部落的个数。随后对每一次查询，如果他们属于同一个部落，则在一行中输出“Y”，否则输出“N”。

输入样例：

输出样例：

10 2
Y
N

分析：典型并查集问题。
一个部落对应一个集合。根节点数量等于部落数量。
并查集把每个部落的人连起来，记录哪些人出现过，枚举标号10000，找出有多少人和部落，查询并查集维护。
源码分析：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int pre[10005];
int f[10005];

void init() { //初始化父集合pre[10005]，以及出现的标志数组f[10005]
	for(int i=0; i<10004; i++)
		pre[i]=i, f[i]=0;
}

int find(int x) {  //并查集查找根节点的 递归程序
	return pre[x]==x? x : pre[x]=find(pre[x]);
}

int main()
{
	init();
	int n,q,k,a,b;
	cin>>n;
	for(int i=0; i<n; i++) {
		cin>>k>>a;
		f[a]=1;
		for(int j=1; j<k; j++) {
			cin>>b;
			f[b]=1;
			int x=find(a);
			int y=find(b);
			if(x!=y) pre[x]=y;
		}
	}
	int cnt=0,tot=0; //cnt为所有人数 tot为部落数量
	for(int i=0; i<10004; i++) {
		if(f[i] == 1) {  //如果标志为1 则说明出现过，cnt加一
			cnt++;
			if(pre[i]==i) tot++; //如果下标为本身 说明其为根节点 根节点数量为部落的数量
		}
	}
	cout<<cnt<<" "<<tot<<endl;
	cin>>q;
	for(int i=0; i<q; i++) {
		cin>>a>>b;
		if(find(a) == find(b))  //若两参数 有同一根节点 说明为一个部落。
			cout<<"Y"<<endl;
		else cout<<"N"<<endl;
	}
	return 0;
}

参考博客：https://blog.csdn.net/jelly_acm/article/details/70226350

https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/47373345

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