第十四讲 共振

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一，共振的数学模型：

• 弹簧—质量—阻尼系统
• 如图
• 标准形式：
• 设阻尼常数，弹性常数，表示弹簧的固有频率（圆频率），
• 原方程化为：
• 假设阻尼系数，方程右侧输入的驱动项，驱动频率
• （注：视频中的，这里用表示，以便区别第三节的阻尼频率）
• 方程为：
• 方程左边换成线性算子式：
• 方程右边复数化：是的实部，将代替
• 方程化简为：，表示复数解，
• 因为
• 指数输入定理
• 取出实部：
• 幅度：；响应频率即驱动频率：
• 当不断趋近时，趋于无穷大
• 如图1：
• 假设驱动频率
• 方程为：，
• 
• 是的一个单根
• ，视为常数
• 指数输入定理
• 取出实部：
• 幅度：；响应频率即固有频率：
• 振幅和时间t成正比，当时振幅为0
• 如图2：

二，当不断趋近时，怎么会从图1突然变成图2？

• 图1和图2是方程的两个特解，而且差别很大，现在来求它们的通解：
• 方程：
• 伴随方程：
• 特征方程：
• 特征解：
• 
• 根据定理（第九讲第三节）：，
• 通解：
• 设，
• 通解化为：
• 当不断趋近：
• 洛必达法则：
• 下面求通解的图像：
• 和差化积公式：
• 同理：
• 通解：
• 当不断趋近时：，视为响应振荡
• 视为变化的振幅，表示振幅的频率，越来越小
• 如图3：见视频30:00~33:00，当不断趋近时，图3逐渐变成图2

三，假设阻尼系数，，驱动项为：

• 方程为：
• 表示弹簧的固有频率
• 表示阻尼的固有频率（伪圆频率），见第十讲第三节
• 定理：（勾股定理）
• 是固定的，阻尼p越大，阻尼频率就越小；阻尼p越小，阻尼频率就越接近弹簧频率
• 假设驱动项：
• 方程为：
• 只有当没有阻尼的时候，才能产生共振，如第一节所述
• 什么情况下，输入频率能使响应频率的振幅最大？
• 答：当共振频率接近阻尼频率时，即：当时。