CodeForces 50 D.Bombing（二分+概率DP）

Description

给出$n$个目标的二维坐标$(x_i,y_i)$以及炸弹的爆炸位置$(x_0,y_0)$，对于一个爆炸半径$R$，一个距离爆炸位置$D$的目标被摧毁的概率为$P(D)=e^{1-\frac{D^2}{R^2}},D>R,P(D)=1,D\le R$，先要最小化$R$使得被摧毁目标的期望数量小于$K$的概率小于$\frac{eps}{1000}$

Input

第一行一整数$n$表示目标个数，之后输入两个整数$K,eps$，然后输入爆炸位置$(x_0,y_0)$，最后$n$行每行输入两个整数$x_i,y_i$表示第$i$个目标的坐标

$(1\le n\le 100,1\le K\le n,1\le eps\le 999,|x_0|,|y_0|,|x_i|,|y_i|\le 1000)$

Output

输出满足条件的$R$的最小值，误差不超过$10^{-6}$

Sample Input

1
1 500
5 5
1 2

Sample Output

3.84257761518762740

Solution

二分$R$，对于固定的$R$可以求出第$i$个目标被摧毁的概率$p_i$，以$dp[i][j]$表示前$i$个目标有$j$个目标被摧毁的概率，根据第$i$个目标是否被摧毁有转移$dp[i][j]=p_i\cdot dp[i-1][j-1]+(1-p_i)\cdot dp[i-1][j]$，$O(n^2)$完成转移后，摧毁目标期望数量小于$K$的概率即为$\sum\limits_{i=0}^{K-1}dp[n][i]$，如果该值大于$eps$说明$R$过小要尝试更大的$R$，否则说明$R$合法可以进一步尝试更小的$R$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
#define x first
#define y second 
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=105;
int n,K;
double eps,dp[maxn][maxn];
P s,p[maxn];
double dis(P a,P b)
{
    return sqrt(1.0*(a.x-b.x)*(a.x-b.x)+1.0*(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); 
}
bool check(double r)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            double q,d=dis(s,p[i]);
            if(d<=r)q=1;
            else q=exp(1.0-d*d/(r*r));
            if(j==0)dp[i][j]=(1.0-q)*dp[i-1][j];
            else dp[i][j]=q*dp[i-1][j-1]+(1.0-q)*dp[i-1][j];
        }
    double res=0;
    for(int i=0;i<K;i++)res+=dp[n][i];
    if(res>eps)return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%lf",&n,&K,&eps);
    eps/=1000;
    scanf("%d%d",&s.x,&s.y);
    double l=0,r=0,mid,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y),r=max(r,dis(s,p[i]));
    int T=100;
    while(T--)
    {
        mid=0.5*(l+r);
        if(check(mid))ans=mid,r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.9f\n",ans);
    return 0;
}