【AtCoder】AGC006 Minimum Sum

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题目

传送门

题目大意

给出一个 $N$的排列 $a_1,a_2,...,a_N$，求 $\sum\limits_{l=1}^{N}\sum\limits_{r=l}^{N}\min\{a_l,a_{l+1},...,a_r\}$。

思路

题意就是求序列中每个区间的最小值之和。
考虑有多少个区间的最小值为 $a_i$，记为 $f(i)$，则答案为： $\sum\limits_{i=1}^{N}a_i\times f(i)$
若区间 $[l,r]$的最小值为 $a_i$，则其中的每一个数（除了 $a_i$）都比 $a_i$大。
直接说结论：

• 找到 $a_i$左边离它最近的 $l$，满足 $a_l<a_i$
• 找到 $a_i$右边离它最近的 $r$，满足 $a_r<a_i$
• $f(i)=(i-l)\times (r-i)$

这样找到的区间 $(l,r)$（注意是开的）是满足最小值为 $a_i$的最大的一个区间。因为区间 $(l-1,r)$的最小值就不是 $a_i$了，是 $a_l$（ $a_l<a_i$），同理，区间 $(l,r+1)$的最小值一定是 $a_r$。
但是在区间 $(l,i)$和 $(i,r)$中的每个数都比 $a_i$大，从 $(l,i]$中选出一个作为左端点， $[i,r)$中选出一个作为右端点，得到 $f(i)=(i-l)\times (r-i)$。

于是你发现，暴力完成这个结论还是 $O(N^2)$的……

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如果我们将比 $a_i$小的数的下标存在一个set<int> S里面，那么l=S.lower_bound(i)（实现的时候用lower_bound好像会有神奇之事发生，详见代码），r=S.upper_bound(i)。
所以将 $a$排个序（和下标一块，用结构体），然后顺着扫，将 $a_i$前面的数都扔到set里面，再对 $a_i$的下标（排了序就不是 $i$了）找lower_bound之类就可以了。

似乎有点像偏序……
反正这个问题我想了几百年……

代码

#include<set>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 200000
int N;
struct node{
    int val,ID;
}A[MAXN+5];

bool cmp(node x,node y){
    return x.val<y.val;
}

int main(){
    scanf("%d",&N);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        A[i].ID=i;
        scanf("%d",&A[i].val);
    }
    sort(A+1,A+N+1,cmp);
    set<int> index;
    index.insert(0),index.insert(N+1);//免得出现找不到的情况
    long long Ans=0;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        set<int>::iterator Left,Right;
        Left=Right=index.upper_bound(A[i].ID),Left--;//注意Left的处理
        Ans+=1ll*(A[i].ID-*Left)*(*Right-A[i].ID)*A[i].val;
        index.insert(A[i].ID);
    }
    printf("%lld",Ans);
}