两道概率题： 红白肇事车，100次实验至少一次成功

分析有不对的地方，希望能被指出来 ，谢谢！

---

一个城市红车占15%， 白车占85%， 一个晚上发生了车祸，肇事者逃逸，只有一个人见证了这场车祸，目击者指认现场时候声称肇事车辆是白色车辆，专家鉴定后说：目击者指认肇事车为白车正确的概率是80%，问你，肇事车辆是白色的概率是多少？
【答】: 这是一道关于条件概率的题，所以要先将事件划分出来，理清事件之间的条件关系，确定题目问的是哪种概率。
专家的鉴定是指对目击者在那种条件下判断能力的鉴定，是只依赖于现场环境和目击者的认知能力的判断。

涉及的概率包括：
- 该城市随便抽一个车是红车概率 0.15， 白车 0.85；
- 目击者判断正确的概率是0.8， 错误的概率是0.2；

肇事车本身是什么颜色，由先验概率（0.85,0.15）给定，目击者的指认改变了对车颜色的判断概率，而目击者的判断又带有不确定性（0.8,0.2）， 所以最后问的就是有目击者判断扰动后的车颜色概率。

定义 $A = 目击者指认白色$， $B = 肇事车是白车$

$P(B) = 0.85， P(非B) = 0.15.$

目击者指认车的颜色是受车颜色的先验概率影响的。
目击者指认白车事件包括：指认白车且正确， 指认白车且判断错误,
$P(A) = P(A, B) + P(A, 非B)= 0.85*0.8 + 0.15*0.2 = 0.71$

同理, $P(非A) = P(非A, B) + P(非A, 非B) = 0.15*0.8 + 0.85*0.2 = 0.29$.

问题问的是已知目击者指认白车，肇事车是白车的概率是多少：
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0.85*0.8}{0.71}\approx 0.958$
【延伸】

1. 若是目击者指认白车，则肇事车是红车的概率为， $P(非B| A) = \frac{0.15*0.2}{0.71} = 0.0423$。
2. 若是目击者指认红车，则肇事车是白车的概率为， $P(B| 非A) = \frac{0.85*0.2}{0.29} = 0.586，$
3. 若是目击者指认红车，则肇事车是红车的概率为， $P(非B | 非A) = \frac{0.15*0.8}{0.29} = 0.4138$。

---

一个事件发生的概率是1%， 问做100次实验，至少有一次成功的概率是多少？
A. 接近 100%
B. 接近 99%
C. 接近 70%
D. 接近 60%

【答】： 取互补事件，至少一次的互补为：做100次，没有一次成功的概率 $P_{100\rm fail}= (1-0.01)^{100}$, 所以问题的答案是 $P = 1- (1-0.01)^{100}$; 现在来估算$(1-0.01)^{100} $, 考虑到 $(1-\frac{1}{n})^n$ 在 $n$ 趋于无穷大的时候趋于 $1/e$, 即 $\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n})^n = \frac{1}{e} \,,$
考虑到 $n=100$ 可以算是足够大了，我们用 $1/e$来作为 $(1-0.01)^{100} $的近似， $(1-\frac{1}{100})^{100} \approx 1/e\approx 1/2.72$, 所以 $P\approx 1-\frac{1}{2.7} = 0.63$.

---