【1】动态规划基本步骤:
(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
(2)递归地定义最优值。
(3)以自底向上的方式计算出最优值。
(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
【2】矩阵连乘问题
给定n个矩阵{A1,A2,A3,……,An},其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3,…..,n-1.考察这n个矩阵的连乘积A1A2A3A4,…….,An.
若一个矩阵的连乘积德计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
void JZLC(int **a,int **b,int **c,int ra,int ca,int rb,int cb)
{
if(ca!=rb)
error("矩阵不可乘");
for(int i=0;i<ra;i++)
{
for(int j=0;j<cb;j++)
{
int sum=a[i][0]*b[0][j];
for(int k=1;k<ca;k++)
sum+=a[i][k]*b[k][j];
c[i][j]=sum;
}
}
} 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全 加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即: A=(BC)
设有四个矩阵A,B,C,D ，它们的维数分别是：
A=50×10, B=10×40, C=40×30, D=30×5
总共有五种完全加括号的方式
(A((BC)D) (A(B(CD))) ((AB)(CD))
(((AB)C)D) ((A(BC))D)
16000, 10500, 36000, 87500, 34500
设计算A[i:j],1<=i<=j<=n,所需要的最少乘法次数m[i:j],则原问题的最优值为m[1,n]
当i=j时，A[i:j]=Ai,因此，m[i,i]=0,i=1,2,3,.....,n
当i<j时：m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+P(i-1)P(k)P(j),这里A的维数为P(i-1)*P(i)
k的位置只有j-i种可能。Description
已知一组连乘矩阵的各维长度，要求计算并输出计算量最小的计算顺序表达式。
Input
每行为一组连乘矩阵的各维长度，行中第一个数字是连乘矩阵的个数n，n≤100，后面是n+1个维长。 矩阵个数为0表示输入结束。
Output
对每行输入，计算最优计算顺序，并以括号形式将计算表达式输出，各矩阵用A0, A1, ..的形式表示。
Sample Input
1 10 20
2 10 20 30
3 10 20 30 40
6 30 35 15 5 10 20 25
0
Sample Output
A0
A0A1
(A0A1)A2
(A0(A1A2))((A3A4)A5)#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAX=1010;
int p[MAX],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];
int n;
void MATRIX_CHAIN_ORDER()
{
for(int i=0;i<=n;i++)
{
m[i][i]=0;
}
for(int l=2;l<=n;l++)
for(int i=1;i<=n-l+1;i++)
{
int j=i+l-1;
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(int k=i+1;k<j;k++)
{
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j])
{
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
void PRINT_OPTIMAL_PARENS(int i,int j,int tot)
{
if(i==j)
{
cout<<"A"<<i-1;
return;
}
if(tot!=1)
cout<<"(";
PRINT_OPTIMAL_PARENS(i,s[i][j],tot+1);
PRINT_OPTIMAL_PARENS(s[i][j]+1,j,tot+1);
if(tot!=1)
cout<<")";
}
int main()
{
while(cin>>n&&n)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
{
cin>>p[i];
}
MATRIX_CHAIN_ORDER();
PRINT_OPTIMAL_PARENS(1,n,1);
cout<<endl;
}
return 0;
}
【2】动态规划算法的基本要素
1、最优子结构
2、重叠子问题
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。
动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。
通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。
3、备忘录方法
备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。
void MemorizedMatrixChain(int n,int **m,int **s)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
m[i][j]=0;
return LookupChain(1,n);
}
int LookupChain(int i,int j)
{
if(m[i][j]>0)
return m[i][j];
if(i==j)
return 0;
int u=LookupChain(i,i)+LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j];
for(int k=i+1;k<j;k++)
{
int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<u)
{
u=t;
s[i][j]=k;
}
}
m[i][j]=u;
return u;
}【3】最长公共子序列
给定两个序列X和Y,当另一子序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是X和Y的公共子序列。
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则
(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。
(3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列。故此时C[i][j]=0。其他情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：
（1）当i=0, j=0 时，c[i][j]=0;
（2）当i，j>0; xi=yj 时，c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
（3）当i，j>0；xi != yj 时，c[i][j]=max{c[i][j-1],c[i-1][j]};
void LCSLength(int m,int n,char **x,char *y,int **c,int **b)
{
int i,j;
for(i=1;i<=m;i++)
c[i][0]=0;
for(j=1;j<=n;j++)
c[0][j]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(x[i]==y[j])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=1;
}
else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=2;
}
else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=3;
}
}
}
} Description
对序列X=(x1, x2, .., xm)，定义其子序列为(xi1, xi2, .., xik)，i1<i2<..<ik。 请计算两个序列X=(x1, x2, .., xm)，Y=(y1, y2, .., yn)的最长公共子序列的长度。
Input
输入为若干行，每行是一个计算题目，每行包括两个长度不超过100的字符串，中间用空格隔开。
Output
对每一行中的两个字符串，计算并输出其最大公共子序列的长度。 每一行输入的计算结果输出一行。
Sample Input
a a
a ab
abcd dcba
abcd bc
abcdef aabacfe
Sample Output
1
1
1
2
4#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[1005][1005];
int main(){
char a[1005];
char b[1005];
while(~scanf("%s",a)){
scanf("%s",b);
int i,j,k;
for(i=0;i<=strlen(a);i++){
dp[i][0]=0;
}
for(i=0;i<=strlen(b);i++){
dp[0][i]=0;
}
for(i=1;i<=strlen(a);i++){
for(j=1;j<=strlen(b);j++){
if(a[i-1]==b[j-1]){
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}
else if(dp[i-1][j]>=dp[i][j-1]){
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
else{
dp[i][j]=dp[i][j-1];
}
}
}
printf("%d\n",dp[strlen(a)][strlen(b)]);
}
return 0;
}
【4】凸多边形最优三角剖分
1、问题相关定义：
(1)凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。
(2)最优剖分：给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。
2、最优子结构性质：
若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n，则T的权为三个部分权之和：三角形V0VkVn的权，多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。
可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分，将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此，凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。
3、递推关系：
设t[i][j],1<=i
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 7;//凸多边形边数+1
int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};//凸多边形的权
int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s);
void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
int Weight(int a,int b,int c);//权函数
int main()
{
int **s = new int *[N];
int **t = new int *[N];
for(int i=0;i<N;i++)
{
s[i] = new int[N];
t[i] = new int[N];
}
cout<<"此多边形的最优三角剖分值为："<<MinWeightTriangulation(N-1,t,s)<<endl;
cout<<"最优三角剖分结构为："<<endl;
Traceback(1,5,s); //s[i][j]记录了Vi-1和Vj构成三角形的第3个顶点的位置
return 0;
}
int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
t[i][i] = 0;
}
for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规模）
{
for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界
{
int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界
t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )这里实际上就是k=i
s[i][j] = i;
for(int k=i+1; k<j; k++)
{
//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])
int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j);
if(u<t[i][j])
{
t[i][j] = u;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
return t[1][N-2];
}
void Traceback(int i,int j,int **s)
{
if(i==j) return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
cout<<"三角剖分顶点：V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;
}
int Weight(int a,int b,int c)
{
return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];
}