[LOJ2541][PKUWC2018]猎人杀

Description

有n个猎人在玩猎人杀，第i个猎人有一个仇恨值wi。
猎人自带亡语随机消灭一个猎人，第i个猎人被选中的概率是wi/∑wj，j还存活
第一个死的猎人也是随机的，求第1个猎人是最后死的概率
∑wi<=1e5

Solution

看上去网上的题解写的都是容斥，这里讲一个用指数形生成函数的做法
~~虽然最后式子好像和容斥差不多~~
首先我们知道假设所有猎人都不会死，每次从n个人中随机选择一个人带走，1是最后被带走的概率，这个和原问题是等价的
令m=∑wi
那么问题变成了枚举所有长度为L的序列{aL}，1是最后一个，2~n都出现过至少一次，贡献为 $∏{w_{ai}\over m}$ ，求所有这样序列的贡献和
考虑一个猎人i，他的EGF $G(i)=\sum_{j>=1}{x^jw_i^j\over m^jj!}$
那么设 $F(x)=∏_{i=2}^{n}G(i)$ ，答案就是 ${w1\over m}\sum_{i>=0}[x^i]F(x)i!$
容易发现 $G(i)=e^{xwi\over m}-1$ ，那么 $F(x)=∏(e^{xwi\over m}-1)$
考虑 $e^{xn\over m}$ 对答案的贡献，就是 $\sum_{i>=0}({n\over m})^i{i!\over i!}={m\over m-n}$
于是我只需要知道每一个n的系数就行了
构造多项式 $∏(x^{wi}-1)$ ，系数就求出来了
这里可以分治NTT
然后就没有了

Code

#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

int read() {
    char ch;
    for(ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
    int x=ch-'0';
    for(ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x;
}

const int N=1e5+5,Mo=998244353;

int pwr(int x,int y) {
    int z=1;
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%Mo)
        if (y&1) z=(ll)z*x%Mo;
    return z;
}

int abs(int x) {return x<0?-x:x;}

vector<int> poly[N<<1];
#define pb(a) push_back(a)

int n,tot,rt,w[N],sum[N];
int len,lg,W[N<<1],t[N<<1],f[N<<1],g[N<<1];

void pre(int N) {
    for(len=1,lg=0;len<=N;len<<=1) lg++;
    W[0]=1;W[1]=pwr(3,(Mo-1)/len);
    fo(i,2,len) W[i]=(ll)W[i-1]*W[1]%Mo;
}

void DFT(int *a,int flag) {
    for(int i=0;i<len;i++) {
        int p=0;
        for(int j=i,k=0;k<lg;k++,j>>=1) p=(p<<1)+(j&1);
        t[p]=a[i];
    }
    for(int m=2;m<=len;m<<=1) {
        int half=m/2,times=len/m;
        for(int i=0;i<half;i++) {
            int w=(flag>0)?W[i*times]:W[len-i*times];
            for(int j=i;j<len;j+=m) {
                int u=t[j],v=(ll)t[j+half]*w%Mo;
                t[j]=(u+v)%Mo;t[j+half]=(u-v)%Mo;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=t[i];
    int inv=pwr(len,Mo-2);
    if (flag==-1) for(int i=0;i<len;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%Mo;
}

void solve(int &v,int l,int r) {
    v=++tot;
    if (l==r) {
        poly[v].pb(-1);
        fo(i,1,w[l]-1) poly[v].pb(0);
        poly[v].pb(1);
        return;
    }
    int mn=sum[r]+1,mid=l;
    fo(i,l,r-1) {
        if (abs(2*sum[i]-sum[l-1]-sum[r])<mn) {
            mn=abs(2*sum[i]-sum[l-1]-sum[r]);
            mid=i;
        } 
    }
    int ls,rs;
    solve(ls,l,mid);solve(rs,mid+1,r);
    int lsz=sum[mid]-sum[l-1],rsz=sum[r]-sum[mid];
    pre(lsz+rsz);
    fo(i,0,len-1) f[i]=g[i]=0;
    fo(i,0,lsz) f[i]=poly[ls][i];
    fo(i,0,rsz) g[i]=poly[rs][i];
    DFT(f,1);DFT(g,1);
    fo(i,0,len-1) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%Mo;
    DFT(f,-1);
    fo(i,0,lsz+rsz) poly[v].pb(f[i]);
}

int main() {
    n=read();
    fo(i,1,n) w[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    solve(rt,2,n);
    int m=sum[n]-w[1];fo(i,0,m) f[i]=poly[rt][i];
    int ans=0;
    fo(i,0,m) (ans+=(ll)f[i]*sum[n]%Mo*pwr(sum[n]-i,Mo-2)%Mo)%=Mo;
    ans=(ll)ans*w[1]%Mo*pwr(sum[n],Mo-2)%Mo;
    printf("%d\n",(ans+Mo)%Mo);
    return 0;
}