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首先，一个显然的 DP 状态：
$f[i]$ 表示第一个数当前为 $i$ ，将其变成 $0$ 的期望步数。
边界当然是 $f[0]=0$ 。
讨论一波转移：
设 $P(i,x)$ 表示当第一个数为 $i$ 时， $k$ 轮减操作让第一个数减少 $x$ 的概率。
这样转移就很显然了：
当 $i<n$ 时：
$f[i]=1+\frac 1{m+1}\sum_{j=0}^{i+1}P(i+1,j)\times f[i-j+1]+\frac m{m+1}\sum_{j=0}^iP(i,j)\times f[i-j]$
当 $i=n$ 时：
$f[i]=1+\sum_{j=0}^iP(i,j)\times f[i-j]$
要解决两个小问题：
（1） $P(i,j)$ 的值。
分下类：当 $j<i$ 时，相当于在 $k$ 次操作中选出 $j$ 次操作对第一个数进行，剩下的 $k-j$ 次操作对剩下的 $m$ 个数进行。
所以：
$P(i,j)=\begin{cases}\frac{C_k^j\times m^{k-j}}{(m+1)^k}&j<i\\1-\sum_{k=0}^{i-1}P(i,k)&j=i\end{cases}$
特别地，如果 $k<j$ 则 $P(i,j)=0$ 。
（2）转移的后效性。
把每个 $f[i]$ 当作一个未知变量，使用高斯消元解方程。
但这样复杂度是 $O(Tn^3)$ 的。
发现系数矩阵长这个样子：
$\begin{bmatrix}X&0&0&0&0&0&0&\dots&0\\X&X&X&0&0&0&0&\dots&0\\X&X&X&X&0&0&0&\dots&0\\X&X&X&X&X&0&0&\dots&0\\X&X&X&X&X&X&0&\dots&0\\X&X&X&X&X&X&X&\dots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\X&X&X&X&X&X&X&X&X\\X&X&X&X&X&X&X&X&X\end{bmatrix}$
从第一列到第 $n+1$ 列分别表示 $f[0]$ 到 $f[n]$ ，第一行到第 $n+1$ 行分别表示 $f[0]$ 和 $f[n]$ 的转移。
这矩阵已经非常接近于下三角矩阵。
我们只需要从最后一行开始网上，对于第 $i$ （ $i>2$ ）行，只需要用第 $i$ 行去消第 $i$ 行使得第 $i$ 行第 $i+1$ 列为 $0$ 即可。
这样系数矩阵就变成了下三角矩阵，从 $f[0]$ 开始一一代入即可。
注：如果出现了除以 $0$ 的情况则方程组无解，输出 $-1$ 。
时间复杂度 $O(Tn^2)$ 。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Rof(i, a, b) for (i = a; i >= b; i--)

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

template <class T>
T Min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}

const int N = 1505, ZZQ = 1e9 + 7;

int n, p, m, k, inv[N], f[N][N], pw[N], C[N], a[N];

int qpow(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = 1ll * res * a % ZZQ;
		a = 1ll * a * a % ZZQ;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

void work()
{
	int i, j, alls, orz, tmp, rp;
	n = read(); p = read(); m = read(); k = read();
	orz = qpow(m + 1, ZZQ - 2);
	alls = qpow(qpow(m + 1, k), ZZQ - 2);
	C[0] = 1;
	For (i, 1, n) C[i] = 1ll * C[i - 1] * inv[i] % ZZQ * (k - i + 1) % ZZQ;
	For (i, 0, Min(n, k))
		pw[i] = 1ll * qpow(m, k - i) * C[i] % ZZQ * alls % ZZQ;
	f[0][0] = 1; f[0][n + 1] = 0;
	For (i, 1, n) f[0][i] = 0;
	For (i, 1, n)
	{
		For (j, 0, n + 1) f[i][j] = 0;
		f[i][n + 1] = 1; f[i][i] = rp = 1;
		For (j, 0, i)
		{
			tmp = j <= k ? 1ll * pw[j] * (i == n ? 0 : orz) % ZZQ : 0;
			f[i][i - j + 1] -= tmp; rp -= tmp;
			if (f[i][i - j + 1] < 0) f[i][i - j + 1] += ZZQ;
			if (rp < 0) rp += ZZQ;
		}
		if (i < n) f[i][0] -= 1ll * rp * orz % ZZQ;
		if (f[i][0] < 0) f[i][0] += ZZQ;
		rp = 1;
		For (j, 0, i - 1)
		{
			tmp = j <= k ? 1ll * pw[j]
				* (i == n ? 1 : 1ll * m * orz % ZZQ) % ZZQ : 0;
			f[i][i - j] -= tmp; rp -= tmp;
			if (f[i][i - j] < 0) f[i][i - j] += ZZQ;
			if (rp < 0) rp += ZZQ;
		}
		f[i][0] -= i == n ? rp : 1ll * rp * m % ZZQ * orz % ZZQ;
		if (f[i][0] < 0) f[i][0] += ZZQ;
	}
	Rof (i, n, 2)
	{
		if (!f[i][i]) return (void) puts("-1");
		int tmp = qpow(f[i][i], ZZQ - 2);
		For (j, 0, n + 1) f[i][j] = 1ll * f[i][j] * tmp % ZZQ;
		tmp = f[i - 1][i];
		For (j, 0, n + 1)
		{
			f[i - 1][j] -= 1ll * f[i][j] * tmp % ZZQ;
			if (f[i - 1][j] < 0) f[i - 1][j] += ZZQ;
		}
	}
	if (!f[1][1]) return (void) puts("-1");
	tmp = qpow(f[1][1], ZZQ - 2);
	For (i, 0, n + 1) f[1][i] = 1ll * f[1][i] * tmp % ZZQ;
	a[0] = 0;
	For (i, 1, p)
	{
		a[i] = f[i][n + 1];
		For (j, 0, i - 1)
		{
			a[i] -= 1ll * f[i][j] * a[j] % ZZQ;
			if (a[i] < 0) a[i] += ZZQ;
		}
	}
	printf("%d\n", a[p]);
}

int main()
{
	int i, T = read();
	inv[1] = 1;
	For (i, 2, 1500) inv[i] = 1ll * (ZZQ - ZZQ / i) * inv[ZZQ % i] % ZZQ;
	while (T--) work();
	return 0;
}

[BZOJ5292][Bjoi2018]治疗之雨（期望DP+高斯消元）

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