【BZOJ2118】墨墨的等式

2118: 墨墨的等式

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB
Submit: 2845 Solved: 1162

Description

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究a1x1+a2y2+…+anxn=B存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定N、{an}、以及B的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。

Input

输入的第一行包含3个正整数，分别表示N、BMin、BMax分别表示数列的长度、B的下界、B的上界。输入的第二行包含N个整数，即数列{an}的值。

Output

输出一个整数，表示有多少b可以使等式存在非负整数解。

Sample Input

2 5 10
3 5

Sample Output

HINT

对于100%的数据，N≤12，0≤ai≤5*10^5，1≤BMin≤BMax≤10^12。

解析：
妙啊！

我打死也看不出来这是一道最短路。。。

常规思路将区间求和问题转化成求前缀和，也就是分别算出小等于BMax和小于BMin的个数相减。

我们先找出 a[i] 中最小的数 min{a[i]}（其实任意找一个数都可以，找最小的只是让复杂度更优），那么所有能被构造出来的B一定能对应B%min{a[i]}的一种余数，如果算出所有模min{a[i]}的余数的最小的B，那么就能通过不断加min{a[i]}得到在模min{a[i]}意义下的所有方案，求和即为答案，因为在模意义下的余数不同，所以不会重复，又因为保证是从最小的B开始累加，所以不会遗漏。

关于怎么算，令dis[i]表示模min{a[i]}等于i的最小的B，那么dis[(i+a[j])%min{a[1]}]=dis[i]+a[j]，类比连边跑最短路后dis[i]就表示模等于i的最小的B。

PS：我晕我在说些什么。。。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int Max=500010;
int n,m,ans,l,r,size;
int first[Max],a[15],dis[Max],vis[Max];
struct shu{int to,next,len;}edge[Max*10];

inline int get_int()
{
	int x=0,f=1;
	char c;
	for(c=getchar();(!isdigit(c))&&(c!='-');c=getchar());
	if(c=='-') f=-1,c=getchar();
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
	return x*f;
}

inline void build(int x,int y,int z)
{
	edge[++size].next=first[x],first[x]=size,edge[size].to=y,edge[size].len=z;
}

inline void dijkstra()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	priority_queue<pair<int,int> >q;
	q.push(make_pair(0,0)),dis[0]=0;
	while(q.size())
	{
	  int p=q.top().second;q.pop();
	  if(vis[p]) continue;vis[p]=1;
	  for(int u=first[p];u;u=edge[u].next)
	  {
	  	int to=edge[u].to;
	  	if(dis[to]>dis[p]+edge[u].len)
	  	{
	  	  dis[to]=dis[p]+edge[u].len;
	  	  q.push(make_pair(-dis[to],to));
	  	}
	  }
	}
}

inline int Q(int pos)
{
	ans=0;
	for(int i=0;i<a[1];i++) if(dis[i]<=pos) ans+=(pos-dis[i])/a[1]+1;
	return ans;
}

signed main()
{
	n=get_int(),l=get_int(),r=get_int();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=get_int();
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=0;i<a[1];i++)
	  for(int j=2;j<=n;j++)
	    build(i,(i+a[j])%a[1],a[j]);
	dijkstra();
	cout<<Q(r)-Q(l-1);
	return 0;
}