勾股定理是初中数学的一个重要内容，早在古代人们就已对此做出了深入的研究，并且取得了显著的成果。小龙以前上中学时因一次偶然的机会，接触到找寻勾股数的数学题目，得以对勾股数有了比书本上更深入的了解，尽管我的发现早在N年前就已被古代的数学家们发现了，我还是为此兴奋了许久。下面就来谈谈关于勾股数的话题。
“直角三角形两条直角边边长值的平方和等于斜边边长值的平方”，这就是勾股定理的内容。即“勾的平方+股的平方=弦的平方”，用字母表示为：a2+b2=c2，我们最先接触的往往是“勾三股四弦五”这样的勾股数，即32+42=52。除此以外，还有52+122=132、72+242=252和92+402=412、112+602=612等，仔细观察这些数，我们不难发现它们的共同点。就是勾股数都是自然数，其中的较小数是一个奇数，较小数的平方等于两个较大数的和，且两个较大数仅相差1。
如果我们设这三个勾股数分别为a、b、c，且a<b<c。上面的数的关系都符合下面的两个式子：a2＝b+c且c-b=1，根据这两个式子我们能否证明a2+b2=c2呢？事实上是可以的，有兴趣的话您可以试着证明一下，这里我就不写出来了，事实上怎么证明我也忘记了。
那么是否所有的勾股数都符合这一规律呢？再看一看，上面所列出的几组勾股数，因为三条边长度之比各不相同（如3、4、5和5、12、13），所以围成直角三角形后的形状也各不相同。但有一类数如6、8、10和9、12、15实际上可以看成是3、4、5三个数分别扩大2倍得到的和扩大3倍得到的，如果用这样的三条边组成直角三角形，虽然大小不同，但是直角三角形的形状是相同的。所以这样的勾股数无论写出多少组出来，都可以看成是由3、4、5这组勾股数衍生出来的，其他的勾股数如5、12、13等也都可以衍生出直角三角形形状相同的勾股数出来。
让我们再看下面这组勾股数：82+152=172，它们之间的关系似乎不符合上面我们所说的规律，首先82不等于15+17，其次17-15也不等于1。让我们把这三个数都缩小2倍再看一看吧！42+7.52=8.52，完全符合：a2＝b+c且c-b=1的特征，唯一要注意的是其中出现了7.5和8.5两个小数，没有关系，让这三个数各自乘2后它们就变成整数了。
所以，我们就得到了寻找勾股数的方法，如果最小的数是奇数的话，就先求出它的平方，然后把平方的值写成两个数相加，且让两个加数相差1，这样开始选的较小数和后两个加数就可以组成勾股数。如果较小数是偶数的话，仍然像刚才那样去找，只要记住最后要把这三个数都扩大2倍，就也找到了新的勾股数。如最小数先定为10，10*10＝100，100＝49.5+50.5，把10、49.5、50.5都乘2就得到了20、99、101，这里202+992=1012，它们就是一组新的勾股数。用这样的方法还可以继续找下去……由此我们也可以得知，构成形状不同的直角三角形的勾股数的整数解共有无数组种答案。
注：本文转自小龙博客-网络日志 http://www.lxlong.com/blog/archives/4231.html 如有侵权请告知